Solucio n Tarea 16

Solución de la Tarea 16

1. Evalúa las siguientes integrales usando la transformación a coordenadas polares.

a) donde es la región en el primer cuadrante acotada por los círculos y .Solución:




b) donde es la región entre los círculos y .

Solución:









c)
Solución:

=
=
d)
Solución:






=

2. Calcula el volumen bajo el paraboloide y sobre eldisco encerrado por el círculo .
Solución:





3. Calcula el volumen bajo el paraboloide y encima del plano .

Solución
Primero calculemos la intersección entre el paraboloide y el plano z=4.Círculo de radio

Ahora, calculemos el volumen entre el plano y el paraboloide


4. Calcula el volumen acotado por los paraboloides y .
Solución
Primero calculemos la intersección entre losparaboloides:

Círculo de radio 1.
Ahora, calculemos el volumen entre los paraboloides y .



5. Calcula el volumen bajo el elipsoide , sobre el plano y en el primer octante.
Solución:

6. Verifica medianteel cálculo de una integral doble en coordenadas polares que el volumen de una esfera de radio , es .
Solución:


7. Consideremos a una tubería circular de radio mts. donde circula agua, coloquemos unsistema coordenado polar sobre una sección transversal circular de la tubería con el origen en el centro de la sección como se muestra en la figura, supongamos que el agua atraviesaperpendicularmente a la sección transversal con una velocidad , donde es la distancia de cualquier punto al centro de la sección. Si multiplicamos por el área de una porción infinitesimal de la seccióntransversal, se obtiene el volumen de agua que atraviesa la porción infinitesimal por unidad de tiempo, a este volumen lo llamaremos diferencial de flujo y lo representamos por .



a) Obtén la fórmula para eldiferencial de flujo .
Solución:

b) Plantea una integral doble que represente al flujo total sobre la sección transversal.

Solución:

c) Calcula el flujo total sobre la sección transversal si...