solucion cuñas
Páginas: 6 (1277 palabras)
Publicado: 2 de diciembre de 2014
En esta página, se estudia el movimiento de un cuerpo que desliza a lo largo de un plano inclinado que a su vez, se mueve sin fricción sobre una superficie horizontal. Este es un problema clásico en un curso de Física General
El plano inclinado es una cuña de masa M, que forma un ángulo θ con la horizontal. Un cuerpo de masa m desliza sobre el plano inclinado. El coeficiente de rozamientoentre las dos superficies en contacto es μ.
La aceleración del bloque respecto de la cuña es am, su dirección es paralela al plano inclinado
La aceleración de la cuña respecto de Tierra es aM, en la dirección horizontal
Suponemos inicialmente que aM tiene el sentido hacia la derecha (positivo). Como veremos, la conservación del momento lineal o las ecuaciones del movimiento nos darán elsentido correcto, hacia la izquierda (negativo).
Descripción
En la figura, se muestra las fuerzas sobre cada uno de los dos cuerpos y las aceleraciones de los mismos
Sobre el bloque actúan
El peso mg
La reacción N del plano inclinado
La fuerza de rozamiento, Fr que se opone a su movimiento hacia abajo a lo largo del plano inclinado
Las ecuaciones del movimiento del bloqueson
A lo largo del eje horizontal, la aceleración del bloque respecto de Tierra es (am·cosθ+aM)
N·senθ-Fr·cosθ=m(am·cosθ+aM) (1)
A lo largo del eje vertical, la aceleración del bloque respecto de Tierra es am·senθ
mg-N·cosθ-Fr·senθ= m·am·senθ (2)
Si μ es el coeficiente de la fuerza de rozamiento
Fr=μ·N
Sobre la cuña actúan
El peso Mg en su centro de masasPor la tercera ley de Newton, las fuerzas que ejerce la cuña sobre el bloque son iguales y de sentido contrario a las que ejerce el bloque sobre la cuña.
La reacción R del plano horizontal a lo largo del cual desliza la cuña sin rozamiento.
A lo largo del eje horizontal, la ecuación del movimiento es
Fr·cosθ-N·senθ=M·aM (3)
A lo largo de la dirección vertical, la cuñaestá en equilibrio.
Sumando la primera y tercera ecuación, obtenemos la relación entre las aceleraciones am y aM.
m(am·cosθ+aM)+ M·aM=0
La aceleración de la cuña aM es de sentido contrario al señalado en las figuras.
Despejamos del sistema de ecuaciones la aceleración am del bloque respecto de la cuña y la aceleración de la cuña aM respecto de Tierra.
En la figura, se representade aM en función del ángulo θ para dos valores del coeficiente de rozamiento μ=0, (cuando no hay rozamiento) y μ=0.4. Vemos que aM presenta un máximo para un ángulo θm. Cuando μ≠0, aM es positivo a partir de cierto ángulo θ0. Este ángulo es precisamente aquél tanθ0= μ.
Por ejemplo, cuando μ=0.4, θ0=22º. Evidentemente, cuando no hay rozamiento μ=0, θ0=0º.
En el estudio del movimiento deun cuerpo a lo largo de un plano inclinado de ángulo θ, ya se puso de manifiesto que el cuerpo desliza con velocidad uniforme justamente cuando tanθ=μ. Para ángulos mayores, el cuerpo desliza con movimiento acelerado.
De las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, obtenemos la velocidad y el desplazamiento de los cuerpos:
La velocidad del bloque respecto de la cuña esvm=am·t, suponiendo que parte del reposo.
El desplazamiento del bloque sobre la cuña es xm=am·t2/2
La velocidad de la cuña respecto de tierra es vM=aM·t
El desplazamiento de la cuña a lo largo del plano horizontal es xM= aM·t2/2
El bloque llega al vértice de la cuña en el instante
donde l es el desplazamiento total del bloque a lo largo de la cuña.
La cuña se mueve en el planohorizontal a partir de este instante con velocidad constante
vM=aM·tm
El bloque se mueve en el plano horizontal con velocidad constante respecto de Tierra,
Vm=vM+am·tm·cosθ
Sistema de partículas
Podemos considerar al bloque y la cuña como un sistema de dos partículas interactuantes
Las fuerzas interiores o de interacción mutua son
La reacción N
La fuerza de...
El plano inclinado es una cuña de masa M, que forma un ángulo θ con la horizontal. Un cuerpo de masa m desliza sobre el plano inclinado. El coeficiente de rozamientoentre las dos superficies en contacto es μ.
La aceleración del bloque respecto de la cuña es am, su dirección es paralela al plano inclinado
La aceleración de la cuña respecto de Tierra es aM, en la dirección horizontal
Suponemos inicialmente que aM tiene el sentido hacia la derecha (positivo). Como veremos, la conservación del momento lineal o las ecuaciones del movimiento nos darán elsentido correcto, hacia la izquierda (negativo).
Descripción
En la figura, se muestra las fuerzas sobre cada uno de los dos cuerpos y las aceleraciones de los mismos
Sobre el bloque actúan
El peso mg
La reacción N del plano inclinado
La fuerza de rozamiento, Fr que se opone a su movimiento hacia abajo a lo largo del plano inclinado
Las ecuaciones del movimiento del bloqueson
A lo largo del eje horizontal, la aceleración del bloque respecto de Tierra es (am·cosθ+aM)
N·senθ-Fr·cosθ=m(am·cosθ+aM) (1)
A lo largo del eje vertical, la aceleración del bloque respecto de Tierra es am·senθ
mg-N·cosθ-Fr·senθ= m·am·senθ (2)
Si μ es el coeficiente de la fuerza de rozamiento
Fr=μ·N
Sobre la cuña actúan
El peso Mg en su centro de masasPor la tercera ley de Newton, las fuerzas que ejerce la cuña sobre el bloque son iguales y de sentido contrario a las que ejerce el bloque sobre la cuña.
La reacción R del plano horizontal a lo largo del cual desliza la cuña sin rozamiento.
A lo largo del eje horizontal, la ecuación del movimiento es
Fr·cosθ-N·senθ=M·aM (3)
A lo largo de la dirección vertical, la cuñaestá en equilibrio.
Sumando la primera y tercera ecuación, obtenemos la relación entre las aceleraciones am y aM.
m(am·cosθ+aM)+ M·aM=0
La aceleración de la cuña aM es de sentido contrario al señalado en las figuras.
Despejamos del sistema de ecuaciones la aceleración am del bloque respecto de la cuña y la aceleración de la cuña aM respecto de Tierra.
En la figura, se representade aM en función del ángulo θ para dos valores del coeficiente de rozamiento μ=0, (cuando no hay rozamiento) y μ=0.4. Vemos que aM presenta un máximo para un ángulo θm. Cuando μ≠0, aM es positivo a partir de cierto ángulo θ0. Este ángulo es precisamente aquél tanθ0= μ.
Por ejemplo, cuando μ=0.4, θ0=22º. Evidentemente, cuando no hay rozamiento μ=0, θ0=0º.
En el estudio del movimiento deun cuerpo a lo largo de un plano inclinado de ángulo θ, ya se puso de manifiesto que el cuerpo desliza con velocidad uniforme justamente cuando tanθ=μ. Para ángulos mayores, el cuerpo desliza con movimiento acelerado.
De las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, obtenemos la velocidad y el desplazamiento de los cuerpos:
La velocidad del bloque respecto de la cuña esvm=am·t, suponiendo que parte del reposo.
El desplazamiento del bloque sobre la cuña es xm=am·t2/2
La velocidad de la cuña respecto de tierra es vM=aM·t
El desplazamiento de la cuña a lo largo del plano horizontal es xM= aM·t2/2
El bloque llega al vértice de la cuña en el instante
donde l es el desplazamiento total del bloque a lo largo de la cuña.
La cuña se mueve en el planohorizontal a partir de este instante con velocidad constante
vM=aM·tm
El bloque se mueve en el plano horizontal con velocidad constante respecto de Tierra,
Vm=vM+am·tm·cosθ
Sistema de partículas
Podemos considerar al bloque y la cuña como un sistema de dos partículas interactuantes
Las fuerzas interiores o de interacción mutua son
La reacción N
La fuerza de...
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