solucion de determinantes 2x2 3x3 mediante el mtodo de cofactores

I I J I I     j  ,         j j     I     j    j j  ,  J  , , .   3 DETERMINANTES 3.1 Introduccin En numerosas aplicaciones del lgebra lineal a la Geometra y al Anlisis el concepto de determinante desempea un papel importante. Este captulo estudia las propiedades fundamentales de los determinantes y algunas de sus aplicaciones. En elVolumen 1 se introdujeron los determinantes de segundo y tercer orden como una notacin til para expresar ciertas frmulas en forma compacta. Re- cordemos que el determinante de segundo orden se defini mediante la frmula 11 (3.1) a a121 alla22 - a12a21 12 A pesar del parecido de la2oiones, el determinante a11 a / (escrito con a21 a22 dos barras verticales) esconceptualmente distinto de la matriz a11 a12 (con a21 a22 dos corchetes). El determinante es un nmero asignado a la matriz y que se calcula con la frmula (3.1). Para acentuar esta conexin tambin escribimos (3.2) a11 a121 det a11 a12J. a21 a22 a21 a22 Los determinantes de tercer orden se definieron en el Volumen 1 en funcin de determinantes de segundoorden mediante la frmula a11 a12 a13 det a21 a22 a23 a11 a31 a32 a33 87 88 Determinantes Este captulo considera el caso ms general, el determinante de una matriz cua- drada de orden n para cualquier entero n 2 1. Nuestro punto de vista consiste en tratar el determinante como una funcin que asigna a cada matriz cuadrada A un nmero llamadodeterminante de A y que se indica por det A. Se puede definir esa funcin por medio de una frmula que generaliza (3.1) y (3.2). Tal frmula es una suma que contiene n productos de elementos de A. Para valores grandes de n esa frmula es de difcil manejo y se usa poco en la prctica. Es preferible estudiar los determinantes desde otro punto de vista que ponga de manifiesto conmayor claridad sus propiedades esenciales. Tales propiedades, importantes en las aplicaciones, se tomarn como axiomas para definir una funcin determinante. En principio, nuestro plan constar de tres partes 1) Justificar-la eleccin de los axiomas. 2) Deducir otras propiedades de los determinantes a partir de los axio- mas. 3) Demostrar que existe unafuncin y slo una que satisfaga a tales axiomas. 3.2 Justificacin de la eleccin de los axiomas para una funcin determinante En el Volumen 1 se demostr que el producto mixto de tres vectores Al , A2 , A3 en E3 puede expresarse como el determinante de una matriz cuyas filas son los vectores dados. As tenemos donde Al (a11, a12,a13) A2 (a21, a22, a23) i Y A3 (a31, a32, a33) Si las filas son linealmente independientes el producto mixto no es nulo el valor absoluto del producto es igual al volumen del paraleleppedo determinado por los res vectores Al , A2 , A3 Si las filas son linealmente dependientes el pro- ducto mixto es nulo. En tal caso Al , A2, A3 son coplanarios y el paraleleppedo degenera en una figura plana de volumen nulo. Algunas de las propiedades del producto mixto justifican la eleccin de los axiomas para una funcin determinante en el caso n-dimensional. Para establecer ess propiedades en fma apta para la generalizacin, consideramos el producto mIxt, como una funcin de lostres vectores fila Al , A2 , A3 Designamos esta funcin por d as pues, Justificacin de la eleccin de los axiomas para una funcin determinante 89 Centremos nuestra atencin en las propiedades siguientes a) Homogeneidad en cada fila. Por ejemplo, la homogeneidad en la primera fila establece que b) Aditividad en cada fila. Por ejemplo, la aditividad en la...