Solucion de ecu

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

MÉTODOS NUMÉRICOS
TEMA

Solución de ecuaciones diferenciales
Alumno:

LUIS ALBERTO NAVA GARCIA
Grupo: S-4/1

TANTOYUCA VER, 06 DE JUNIO DEL 2012

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6 de junio de 2012

INDICE
Pág.

Introducción……………………………………………………………..………03 Objetivos…………………………………………………………………………..04 Marco teórico…………………………………………………………………….05
Métodos deun paso…………………………………………………………………..05 Método de pasos múltiples………………………………………….……………..11 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias……………………….....15

Aplicaciones………………………………………………………………………16 Conclusiones……………………………………………………………………..22

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INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicasen las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una o varias funciones desconocidas con respecto a una o varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladaspara varias funciones desconocidas. Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial.

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OBJETIVOS
 Conocer, comprender y aplicar métodos de ecuaciones deferenciales para resolver problemas de la ingeniería y la vida cotidiana mediante el uso decomputadoras.  El objeto de este trabajo es mostrar la utilidad, con el fin de verificar la convergencia de cada uno de los métodos aplicados se consideran diferentes longitudes de paso h, comenzando por un cierto valor y dividiendo sucesivamente h entre dos hasta conseguir una aproximación adecuada.  Aplicando los distintos métodos numéricos a un mismo problema de valor inicial es posiblecomparar la velocidad de convergencia de los diferentes métodos aplicados..

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MARCO TEORICO
6.1.- MÉTODOS DE UN PASO.
Método de Euler El método de Euler consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendienteen Xi (ver GráficoNº01).
[1]

Donde f (Xi, Yi) es la ecuación diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá substituirse en la ecuación [2] nos queda que:
[2]

Esta fórmula es conocida como el método de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de X).

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Error para el método de Euler La solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos de error. 1) Errores de Truncamiento, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y. 2) Errores de Redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas que pueden retener una computadora. Método de EulerMejorado Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es la siguiente:

Donde

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:

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En la gráfica, vemos que lapendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto...