Solucion de la ecuacion de schrodinger

9. Soluciones de la ecuación de Schrödinger

9. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
Introducción
En este Capítulo aplicaremos el formalismo de Schrödinger de la Mecánica Cuántica para estudiar las soluciones de algunos problemas sencillos en una dimensión. El propósito de estos ejemplos es que el lector se familiarice con las técnicas de cálculo y que vea el origen de algunas de lascuriosas propiedades de las soluciones de la ecuación de Schrödinger. Comenzaremos por el caso más sencillo, que es la partícula libre. Luego consideraremos el potencial escalón y la barrera de potencial, para poner en evidencia un importante fenómeno que es puramente cuántico: la penetración de una barrera o “efecto túnel”. Finalmente trataremos el oscilador armónico simple y mostraremos que susniveles de energía están cuantificados, de una forma ligeramente diferente de la que resulta del Postulado de Planck de la Teoría Cuántica Antigua. En todos los casos vamos a emplear la representación coordenadas.

La partícula libre
El Hamiltoniano de una partícula libre en una dimensión espacial x es
H= p2 2m

(9.1)

Claramente p conmuta con H, de modo que el impulso es constante delmovimiento. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es
− h 2 d 2ψ = Eψ 2m dx

(9.2)

y como sabemos tiene soluciones para cualquier valor de E ≥ 0. Por lo tanto el espectro de autovalores de H es continuo y las correspondientes autofunciones de la energía (normalizadas a la delta de Dirac) son las ondas planas

ψ E,k =

1 ikx e 2π

,

E=

h 2 k 2 p2 = 2m 2m

(9.3)

Lascorrespondientes funciones de onda son

ΨE, k = e − iEt / hψ E, k =

1 i( kx −ωt ) e 2π

,

ω=

E hk 2 = h 2m

(9.4)

Cada autovalor E de la energía es doblemente degenerado, pues corresponde a dos valores del impulso:

p = hk = ± 2 mE

(9.5)

El signo + en la (9.5) corresponde a una partícula que se mueve hacia la derecha y el signo – a una partícula que se mueve hacia laizquierda. Puesto que los estados estacionarios (9.4) tienen un impulso bien definido, la posición de la partícula está totalmente indeterminada y es igualmente probable encontrarla en cualquier parte. 103

9. Soluciones de la ecuación de Schrödinger Las funciones de onda (9.4) forman un sistema completo, de modo que cualquier estado Ψ ( x, t ) solución de la ecuación de Schrödinger

ih

∂Ψ (x, t ) = HΨ ( x, t ) ∂t

(9.6)

se puede representar como una superposición de las (9.4) de la forma
+∞

Ψ ( x, t ) =

−∞

∫ a(k )ΨE,k dk

=

1 2π

+∞ −∞

∫ a(k )ei( kx −ωt )dk

(9.7)

donde
a( k ) = (ΨE, k ,Ψ ) = 1 2π
+∞ −∞

∫ e −i( kx −ωt )Ψ ( x, t )dx

(9.8)

Puesto que
+∞

(Ψ ,Ψ ) =

−∞

∫ a(k )* a(k )dk

(9.9)

la Ψ ( x, t ) está normalizada si ladistribución espectral a( k ) lo está. Mediante paquetes de ondas de la forma (9.7) podemos describir estados en los cuales la partícula está localizada y estudiar su movimiento, como ya hicimos anteriormente. Si no queremos trabajar con las autofunciones del continuo, podemos normalizar las autofunciones de la energía en un intervalo de longitud L. Las soluciones permitidas normalizadas en elintervalo ( x0 , x0 + L ) que satisfacen ψ ( x0 ) = ψ ( x0 + L) = 0 (normalización en una caja) son ondas estacionarias de la forma

ψ ( x − x0 ) = (2 / L)1 / 2 sen[kn ( x − x0 )] , kn = nπ / L , n = 1, 2, 3, …
y los correspondientes autovalores discretos de la energía son

(9.10)

En = h 2 n 2π 2 / 2 mL2 , n = 1, 2, 3, …

(9.11)

Si usamos en cambio la condición de contorno periódica ψ (x0 ) = ψ ( x0 + L) , las soluciones permitidas (normalizadas en el intervalo ( x0 , x0 + L )) son ondas viajeras de la forma

ψ ( x − x0 ) = (1 / L)1 / 2 eikn ( x − x 0 ) , kn = ±2 nπ / L , n = 0, 1, 2, …
y los autovalores discretos de la energía son

(9.12)

En = 2 h 2 n 2π 2 / mL2 , n = 0, 1, 2, …

(9.13)

Mientras L sea mucho mayor que el tamaño de la región de interés, estos...