Solucion De Problemas Geometricos

SOLUCION DE PROBLEMAS GEOMETRICOS.
1. Teorema de Ptolomeo.
En todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia (cíclico), la suma de los productos de lospares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.
En la figura siguiente:

tendríamos que
AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅AD
Demostración:
Considere la siguientefigura:

Sea E sobre la diagonal AC tal que
* CBEˆ=ABDˆ, por construcción,
* BCAˆ=BDAˆ, por subtender el mismo arco.
Entonces ΔBCE∼ΔBDA, por criterio AAA, yde esta semejanza obtenemos:
BCCE=BDAD⇒BC⋅AD=CE⋅BD(1)
Y como ΔBAE∼ΔBDC (queda como ejercicio dar el razonamiento) entonces:
ABBD=AECD⇒AB⋅CD=BD⋅AE(2)Sumando (1) y (2) se tiene que:
AD⋅BC+AB⋅CD=BD⋅CE+BD⋅AE

⇒AD⋅BC+AB⋅CD=BD⋅(CE+AE)

⇒AD⋅BC+AB⋅CD=BD⋅AC■
2. Teorema de Pierre Varignon.
La figura formada cuando se unen enel orden dado los puntos medios de un cuadrilátero convexo es un paralelogramo, y su área es la mitad de la del cuadrilátero original.
3. Teorema de Ceva.
Tresrectas que pasan por los vértices de un triángulo son concurrentes si y sólo si el producto de las razones en que dividen los lados opuestos es igual a 1.Demostración:
Considere la siguiente figura:

Tenemos que:
AFFB=(OAF)(OFB)=(CAF)(CFB)=(CAF)−(OAF)(CFB)−(OFB)

⇒AFFB=(COA)(COB)
Del mismo modo, se tiene también:BDDC=(AOB)(AOC)

CEEA=(BOC)(BOA)
entonces:
AFFB⋅BDDC⋅CEEA=(COA)(COB)⋅(AOB)(AOC)⋅(BOC)(BOA)=1■
4. Teorema de Menelao.
Tres puntos sobre las rectas BC, AC y AB soncolineales si y sólo si el producto de las razones en que dividen a los lados del triángulo ABC es 1.
En la figura siguiente

esto sería:
AEEC⋅CDDB⋅BFFA=1