Solucion De Sistemas De Ecuaciones Lineales

Facultad de Informática

Matemáticas V

Unidad 3

Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Introducción.
En la práctica frecuentemente se tiene la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema o al menos como parte de ella. Dada esta necesidad, se requiere resolverlos en formaeficiente. En tu curso de Matemáticas II, se dieron las herramientas básicas, para resolver estos sistemas, así como algunos métodos de solución. Se podría pensar que con lo que se dio en ese curso, es suficiente. Pero no es así, se dieron las herramientas básicas, algunos métodos, pero no se dieron todos los detalles. Por ejemplo, se mencionó el hecho de que si un sistema tiene det  A  0entonces tiene solución única y que podrías obtenerla con los métodos que se mostraron. Pero, existen sistemas donde a pesar de cumplirse lo anterior, no puedes hallar la solución. En esta unidad veremos un repaso a lo que se vio en Matemáticas II y también los detalles que no se dieron, así como nuevos métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Conceptos Básicos
Un sistema deecuaciones lineales es de la forma:
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2   a n1 x1  a n 2 x 2    a nn x n  bn

Donde aij , b j son constantes y x j son las incógnitas. Se dice que el sistema tiene n ecuaciones con n incógnitas o simplemente que es de n  n . En la notación aij , i se refiere al renglón y j se refiere a la columna donde está ubicado elelemento correspondiente.

® Roy Jonny Sida López

Métodos Numéricos

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Matemáticas V Notación Matricial

El sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial si definimos: La matriz de coeficientes
 a11 a12  a21 a A   21    a  n1 an 2  a1n    a2 n       ann  

El vector de términos independientes
 x1    x  X  2   x   n

El vector de soluciones
 b1    b  B 2    b   n

Entonces el sistema es equivalente a la ecuación matricial: Donde el producto indicado es el producto de matrices.
AX  B

Conceptos Básicos del Álgebra Matricial
Para una matriz A se definen tres operaciones elementales por renglones (o columnas); nos remitiremos a las operaciones por renglones. Cuando seefectúan las operaciones elementales se obtiene una matriz equivalente, y se utiliza el símbolo de equivalencia.

1.

Intercambio de renglón. Ejemplo.
Si intercambiamos el renglón 1 y 3.  4 5 8   6 7  10       1 2 3    1 2 3   6 7  10   4 5 8      Si multiplicamos el renglón 2 por 2. 4 5 8   4 5 8        1 2 3  2    2 4 6   6 7  10   6 7  10     Si sumamos el renglón 3 al renglón 2: 4 5 8  4 5 8       1 2 3   R3   5 9 7   6 7 10   6 7 10     

2. Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero. Ejemplo.

3. Sumar (Restar) un renglón a otro renglón. Ejemplo.

® Roy Jonny Sida López

Métodos Numéricos

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Las operaciones 2 y 3 se combinan parasumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.

Ejemplo.

Sumar 3R1 al R2 en la matriz: 4 5 8     1 2 3   6 7 10    Multiplicamos el renglón 1 por 3 y lo sumamos al renglón 2:

8  4 5 8  4 5      1 2 3  3R1  11 17 27   6 7 10   6 7 10     
Las operaciones elementales se utilizan para “hacer ceros” debajo de algún elemento aij  0 .

Ejemplo.

Hacerceros debajo del elemento a11 en la siguiente matriz.

4 5 8    1 2 3   6 7  10   

Solución.

Observamos que para lograr el objetivo, podemos multiplicar el renglón 1 por 1/4 y sumarlo al renglón 2. También podemos multiplicar el renglón 1 por 3/2 y restárselo al renglón 3:

5 8  4 5 8  4     5    1 2 3   1 4 R1   0 13 4  6 7  10   3 2 R  0  1 2  22  1...