Solucion Examen FINAL Calculo Integral

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
CÁLCULO INTEGRAL
SEGUNDO EXAMEN FINAL COLEGIADO

TIPO “A”
11 de Diciembre de 2009

Semestre 2010-1INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen
antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Sea la función f (x ) =

1
+ 4 , definida en el intervalo [1 ,2] Determinar el o los
x2

valores de:
a) La ordenada media,
b) La abscisa media que satisface el Teorema del Valor Medio del Cálculo
Integral15 puntos

2. Calcular, de ser posible,

⎛1
1 ⎞
lim ⎜ −
⎟
x→0
⎝ x sen x ⎠
10 puntos

2EF10-1A
3. Efectuar

∫(

a)

x3
9 − x2

)

3

∫

dx

b)

2

∫

6 − 4x
dx
x3− 6 x 2 + 11x − 6

c)

xe− x

(1 − x )

2

dx

30 puntos

4. Calcular

el

área

de

la

región

limitada

por

las

curvas

C1 : y 2 = x + 4 , C2 : 2 y 2 = 8 − x10 puntos

⎛x⎞
⎟ , C=Cte., satisface la ecuación de calor
⎝C ⎠

−t
5. Verifique si la función z = e sen ⎜

2
∂z
2 ∂ z
=C
dada por
∂t
∂x 2

15 puntos
6. La temperatura T en un punto P( x , y ) de una placa de metal colocada en el plano

xy es inversamente proporcional a la distancia al origen. Si la temperatura en

P ( −3 ,−4 ) es 50 grados centígrados,
a) Calcular la razónde cambio de la temperatura en el punto P ( −3 ,−4 ) en la
dirección del vector i + j

b) Determinar en qué dirección aumenta más rápidamente la temperatura en el
punto P.

20 puntosUNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Segundo Examen Final
Tipo “A” y “B”
Semestre 2010 – 1

1.

∫

b

f ( x ) dx =

a

=
a ) f ( x0) =
b ) f ( x0 ) =

∫

2
1

2

1
⎛ 1
⎞
⎤
⎛ 1
⎞
⎜ 2 + 4 ⎟ dx = − + 4 x ⎥ = ⎜ − + 8 ⎟ − ( − 1 + 4 )
x
2
⎝x
⎠
⎦1 ⎝
⎠

9
2

1
b−a

∫

b

f ( x ) dx =

a

1
+4
x0...