Solucion numerica de ecuaciones diferenciales

Los modelos que estudia la ingeniería se pueden presentar mediante modelos matemáticos; estos en algunos casos se reducen en una ecuación diferencial, cuya solución es una función que representa el comportamiento del fenómeno.
La solución de ecuaciones diferenciales no es en general un problema sencillo, pero se facilita en buena medida gracias a los métodos numéricos, que permiten lautilización de la computadora Analizaremos los algunos de los métodos más importantes de la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales.

SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales

Se entiende por ecuación diferencial aquella que relaciona dos o más variables en términos de derivadas o diferenciales. Para su estudio conviene establecer lassiguientes definiciones:

-Ecuación Diferencial Ordinaria. Es aquella en la que existe solamente una variable independiente; por lo tanto sus derivadas serán totales.
-Ecuación Diferencial Parcial. Es aquella en la que existen dos o más variables independientes, por lo que sus derivadas serán parciales.
-Orden de una Ecuación Diferencial. Es la derivada de mayor orden que aparece en laecuación.
-Grado de una Ecuación Diferencial. Es el grado algebraico de la derivada de mayor orden que se encuentra en la ecuación.
-Ecuación Diferencial Lineal. Es una ecuación diferencial en la que no aparecen potencias de variable dependiente y sus derivadas, ni productos de variable independiente por sus derivadas o producto entre derivadas.

Solución de una Ecuación Diferencial

La solución deuna ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas o integrales de funciones, y que verifica idénticamente la ecuación diferencial. Por ejemplo, la solución de la ecuación diferencial:

es:

Ya que esta función verifica idénticamente la ecuación diferencial. Nótese que la solución resulta ser una familia de curvas (una para cada valor de c).


Paradeterminar la solución particular, será necesaria una condición inicial del problema.

Con lo cual será posible determinar el valor de c que corresponde a ese caso particular, y con ello seleccionar una sola curva que sea solución de la ecuación diferencial dada.

Métodos numéricos para resolver Ecuaciones Diferenciales
Los métodos numéricos que se muestran a continuación se denominan métodosde solución paso a paso, ya que a partir de uno o varios puntos conocidos calculan el siguiente; una vez calculado se apoyan en este y en los anteriores para calcular uno más, y así sucesivamente.


Método de Euler
Uno de los métodos mas sencillos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden con condiciones iniciales es el método de Euler; consiste en integrar la ecuacióndiferencial:

entre un punto y el siguiente; esto es:

Al integrar el miembro de la izquierda en la expresión anterior se obtiene:



Para integrar el miembro de la derecha en la expresión (1) se utiliza la integración numérica.

Al integrar entre los puntos y se tiene:

donde:


.
.
Al sustituirá función de dos variables f(x,y) e integrar entre un punto cualquiera, , y elsiguiente, , se obtiene:

El método de Euler consiste en integrar el segundo miembro de la expresión (1), considerando únicamente el primer sumando de la expresión anterior con su correspondiente error:

Si se desprecia el error y se sustituye esta ultima ecuación en la expresión (1), se obtiene:

Y al despejar


EJEMPLO:
Resolver la ecuación diferencial con la condición inicial, utilizando el método de Euler, en el intervalo con .
Solución
El método de Euler se desarrollo a partir de la ecuación diferencial de primer orden

por lo que


Se utiliza la expresión (4) para i=0 y se tiene que

donde
(condición inicial)

Ahora bien:

Al sustituir estos valores

Gráficamente:

Se repite el proceso para i=1 en la ecuación (4) y se llega...