Solucion_Taller_3

Soluci´
on Taller 3
Por Juan David Dur´an Vanegas
22 de marzo de 2014

A continuaci´on se plantean posibles formas de solucionar cada uno de los puntos del taller.
La ponderaci´on de cada punto en la nota final del taller aparece entre par´entesis en cada uno
de los ejercicios.

1.

Los gobiernos de dos pa´ıses vecinos deben decidir simult´aneamente el nivel de inversi´on que destinar´an paracontrolar la contaminaci´on. Sea s1 ≥ 0 el nivel de inversion del i−´esimo gobierno. Asuma que el costo marginal del gobierno i, denotado ci ,
es constante, donde c1 > c2 > 0. La funci´on de utilidad del i−´esimo gobierno es
√
ui (si , sj ) = si + sj − ci si . Halle los equilibrios de Nash en estrategias puras de este juego.
Recordemos que una combinaci´on de estrategias c = ci , c−i es un equilibriode Nash
si para todo i ∈ N , ci resuelve el siguiente problema
m´ax ui ci , c−i
ci ∈Ci

Adicionalmente, recordemos que la correspondencia de mejor respuesta del jugador i ∈ N
est´a definida como
ϕ (c−i ) = {ci ∈ Ci /ui (ci , c−i ) ≥ ui (ci , c−i ) para todo ci ∈ Ci }
De este modo, como en el equilibrio de Nash cada jugador est´a eligiendo la mejor estrategia dadas las estrategias del resto dejugadores, c es un equilibrio de Nash si y solo si
ci ∈ ϕ (c−i ) para cada i ∈ N . Por consiguiente, determinaremos los equilibrios de Nash
en estrategias puras de este juego encontrando las corresponencias de mejor respuesta
para cada uno de los gobiernos y hallando las intersecciones de ambas correspondencias.
En primera instancia, maximizaremos la funci´on de utilidad de cada gobierno respecto
supropio nivel de inversi´on. Dado que la funci´on de utilidad de cada gobierno es c´oncava,

1

la condici´on necesaria y suficiente de primer orden para el gobierno i es
1
1
(si + sj )− 2 − ci ≤ 0
2

(1)

con i = (1, 2) , i = j. Por consiguiente, un par de inversiones (s1 , s2 ) es un equilibrio de
Nash si y s´olo si satisface las siguientes condiciones:
1
1
(s1 + s2 )− 2 − c1 ≤ 0 con igualdad sis1 > 0
2
1
1
(s1 + s2 )− 2 − c2 ≤ 0 con igualdad si s2 > 0
2

Asi, es posible determinar que el sistema de desigualdades se soluciona cuando s1 = 0 y
s2 > 0. Alternativamente, podemos encontrar el equilibrio de Nash despejando el nivel
de inversi´on para el gobierno i en (1) de la siguiente manera
1
2ci

si =

2

− sj

que es la mejor respuesta del gobierno i con respecto al nivel de inversi´onelegido por el
gobierno j. As´ı pues, podemos graficar cada correspondencia de mejor respuesta teniendo
presente que el costo marginal del gobierno 1 es mayor al del gobierno 2 (c1 > c2 > 0). Es
posible observar que las correspondencias de mejor respuesta se interceptan en el punto
A. Por consiguiente, este juego posee un u
´nico equilibrio de Nash en estrategias puras
1
ua como un free-rider.
(s1, s2 ) = 0, 4c2 . Notemos que en el equilibrio el gobierno 1 act´
2
Una posible interpretaci´on de este resultado consiste en que, sabiendo que el gobierno
2 posee un menor costo marginal, el gobierno 1 decide no invertir recursos en disminuir
la contaminaci´on y aprovechar la inversi´on de 2.

2

2.

Una econom´ıa est´a conformada por dos individuos, 1 y 2, y dos bienes: uno privado y
otro p´ublico. Sean g1 y g2 los aportes que los individuos 1 y 2 hacen a la construcci´on
del bien p´
ublico, respectivamente. La cantidad total del bien p´
ublico est´a dada por
√
G = g1 + g2 . Sean w1 = 1 y w2 = 2 las dotaciones iniciales de los individuos 1 y 2,
respectivamente, que pueden distribuir entre el consumo de los bienes p´
ublico y privado,
de modo que ci = wi − gi , para i = 1, 2. Lasfunciones de utilidad de los individuos son
u1 (c1 , G) = c1 + ln G y u2 (c2 , G) = c2 + ln G.

a)

Caracterice las asignaciones ´optimas de Pareto de esta econom´ıa e interprete la condici´on hallada.
Determinemos en primera instancia la restricci´on restricci´on de factibilidad de la
econom´ıa. Al agregar las restricciones individuales de los dos individuos se tiene
c1 + c2 + g1 + g2 = w1 + w2 . Sin...