Solucion A Los Sistemas De Ecuaciones Lineales

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Facultad de Ingeniería

Tronco Común de Ingeniería

Álgebra lineal
Unidad 1 Solución a los sistemas de ecuaciones lineales

M. I. Araceli Aguilar Mora
Septiembre 2010

Algebra Lineal

Resumen Unidad 1. Solución a los SEL

ECUACIÓN LINEAL Una ecuación lineal con n incógnitas x1, x2, ... , xn es una expresión que se puede escribir en laforma: a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b, donde: “a” son los coeficientes de las “x” (incógnitas), y “b” son los términos constantes

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL Es un conjunto ordenado de n valores k1, k2, ... , kn tales que: a1k1 + a2k2 + . . . + ankn = b SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones lineales que se escribe de la forma:a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a21x1 + a22 x 2 + L + a2 n x n = b2 am1x1 + am 2 x 2 + L + amn x n = bm M

para los coeficientes aij, 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n y para las constantes bi, i = 1, 2, ... , m Este sistema se dice que es homogéneo cuando bi = 0

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (SEL) Si el SEL es un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas, entonces la solucióndel sistema es un conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones de éste, es decir, una solución de un SEL es el conjunto ordenado de valores k1, k2, ... , Kn tales que
a11k1 + a12 k 2 + L + a1n k n = b1 a21k1 + a22 k 2 + L + a2 n k n = b2 am1k1 + am 2 k 2 + L + amn k n = bm M

OPERACIONES ELEMENTALES Cuando dos SEL tienen la misma solución se dice que son “equivalentes”. Lasoperaciones para la solución de SEL se basa en transformaciones, llamadas elementales, que no alteran las soluciones del sistema, es decir, transformaciones que al aplicarse al sistema dan como resultado un sistema equivalente.

M. I. Araceli Aguilar Mora

2

Algebra Lineal

Resumen Unidad 1. Solución a los SEL

Las operaciones elementales pueden ser de tres tipos:

I. Intercambiar dosecuaciones II. Multiplicar una ecuación por una constante (número) diferente de cero III. Multiplicar una ecuación por una constante y sumarla a otra ecuación, reemplazando
esta última por el resultado obtenido

MÉTODO DE GAUSS Consiste en la eliminación consecutiva de las incógnitas con el propósito de llegar a un sistema que tenga la forma “escalonada”. Para obtener el sistema de forma escalonada,se requiere de la aplicación de transformaciones elementales. Este proceso se continúa hasta que ocurra una de las tres situaciones: 1.- La última ecuación diferente de cero quede xn = c para alguna constante c. Entonces hay una única solución o hay un número infinito de soluciones para el sistema 2.- La ultima ecuación diferente de cero queda para alguna constante c donde al menos dos de las ason diferentes de cero. Esto es, la última ecuación es una ecuación lineal en dos o más variables. Entonces existe un número infinito de soluciones 3.- La ultima ecuación queda 0 = c con c ≠ 0. Entonces no existe solución En los casos 1 y 2 se dice que el sistema es consistente (compatible), mientras que el caso 3 será inconsistente (incompatible)

SISTEMA ESCALONADO Un sistema de m ecuaciones y nincógnitas se dice que está en forma escalonada si se cumple que: 1.- Cualquier ecuación cuyos coeficientes sean todos cero, debe estar por debajo de aquellas ecuaciones que tengan algún coeficiente no nulo 2.- El numero de incógnitas con coeficientes cero que precede a la primera incógnita con coeficientes diferente de cero (igual a uno) de cada ecuación, aumenta a medida que descendemos
6 x1 0x1 0 x1 +2 x 2 + 3x 2 + 0x 2 +3x 3 + 2x 3 + 6x 3 = 0 = 0 = 0

Si es sistema escalonado

M. I. Araceli Aguilar Mora

3

Algebra Lineal
2x 0x 0x 0x + + + + 2y 3y 0y 0y + + + + 3z 5z 6z 3z + + + − 2w 6w 5w w = = = =

Resumen Unidad 1. Solución a los SEL
0 0 0 0

No es sistema escalonado, pues no cumple con el inciso 2 de la definición anterior

Ejemplo. Resolver el SEL, llegando a...