Solucion a problemas de Calculo diferencial
Páginas: 5 (1092 palabras)
Publicado: 7 de julio de 2014
www.gsslatino.com.mx
Conceptos Básicos de Algebra
Exponentes y radicales
⁄
√
√
√
√√
√
√
Distancia entre dos puntos
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
(
)
√
Forma Punto-Pendiente
y-y1 = m(x-x1)
(x1,y1)
√
√
√
(√ )
Forma pendiente-intercepción
y
(0, b)
y= mx + b
x
Ejemplo:
Y = x +2
En esta caso m = 1
(0,b) = (0,2) Usando la forma y = mx +bCon nuestra calculadora
Intervalos
Intervalo abierto(1.6)
(a,b) = {x : a < x < b}
Los números a y b se llaman extremos del intervalo. En
particular la grafica del intervalo abierto (a,b)constan de
todos los puntos entre los dos que corresponden a a y b.
(
(-1,3)
0
1
2
)
-1
3
Intervalos cerrados y semi-abiertos (1.7)
[a,b] = {x : a ≤ x ≤ b }
[a,b) = {x : a≤ x < b }
(a,b] = {x : a < x ≤ b }
Intervalos infinitos (1.8)
{
}
{
}
{
{
}
}
(a
a[
a)
]a
Notación de límite
Problemas fundamentales
a).-Encontrar la recta tangente a una curva en un punto P dado.
b).-Encontrar la velocidad en cualquier instante de un objeto que
se mueve sobre una trayectoria recta.
l
lPQ Pendiente de LPQ
P
Q
LPQ
m =Pendiente de L
a).-
a
x
l
LPQ
a
b).- LPQ tiene a l mPQ tiende a m
x
l
P
Q
a
x
C).- LPQ tiene a l mPQ tiende a m
Si P tiende a Q por la derecha se tiene la situación de la figura (a), en la que se señala varias
posiciones de la recta secante LPQ correspondientes a las diversas posiciones de Q, por medio de
la línea punteada se ve que para Q cercano a P, lapendiente mPQ debe ser muy parecida a la
pendiente m de l . En la figura (C) Q tiende por la izquierda y otra vez se ve que mPQ se acerca a m.
Estas observaciones sugieren que si mpq tienden a un valor fijo cuando Q tiende a P entonces ese
valor se debe usar para definir la pendiente de la recta tangente l en P.
Si la función f esta definida en un intervalo abierto que contiene a a, entoncesmarcamos las
coordenadas P y Q así.
y
Q(x,f(x)
P(a, f(a)
a
x
x
Usando la formula para la pendiente se obtiene, que la pendiente de la recta secante lPQ es:
Ejercicios sobre Límites y funciones
William Anthon
Pagina 21
Granville,
Calculo
Diferencial
e
Integral
Demostrar las siguientes funciones:
Solución
Si sustituye en la ecuación original quedaría así:Esto significa que nuestra función se indefine antes de
resolverse por lo cual, se debe proceder de la siguiente
manera.
Nótese que para eliminar “x” dividimos por “x” en cada una de
las fracciones.
Aplicando
separado.
el
valor
y
el
limite
en
cada
fracción
por
4).Eliminando la variable
dividimos por “h” .
h.
Factorizamos
primero
y
luegoAplicando el limite a cada elemento de la función.
6).-
Una vez resuelto los binomios
factorizar con respecto a “z”.
y
Aplicando el límite a cada fracción
Aplicando el
límite tenemos
trinomios,
procedemos
a
8.-
Eliminando términos nos queda lo siguiente:
10.-Demostrar que
Factorizando los términos de la función.
12).- Demostrar que
Eliminandotérminos y dividiendo por h3
Ahora se tiene que
Resolviendo cada
Tenemos que:
función,
aplicando
los
valores
de
.
16.-Demostrar que
√
√
Ahora vamos a factorizar ,
de términos.
√
√
√
por medio de una multiplicación
√
[
√
√
√
]
Comparando con los productos (a-b)(a+b) como resultado se
deberá obtener: a2- b2
Por lo cual tenemos
√
√
(√Ahora eliminando
cuadrado.
la
√ )
raíz
de
(√
cada
termino
√ )
√
√
Aplicando límite:
√
√
Lo cual se quería demostrar.
√
√
√
elevado
al
18.-Dado f(x) ax2 + bx + c Demostrar que
Ahora Reduciendo por términos semejantes
Eliminamos “h” y aplicamos el límite
20.- Si f(x)= x3
Ahora aplicando el límite
Resultando
Earl W....
Conceptos Básicos de Algebra
Exponentes y radicales
⁄
√
√
√
√√
√
√
Distancia entre dos puntos
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
(
)
√
Forma Punto-Pendiente
y-y1 = m(x-x1)
(x1,y1)
√
√
√
(√ )
Forma pendiente-intercepción
y
(0, b)
y= mx + b
x
Ejemplo:
Y = x +2
En esta caso m = 1
(0,b) = (0,2) Usando la forma y = mx +bCon nuestra calculadora
Intervalos
Intervalo abierto(1.6)
(a,b) = {x : a < x < b}
Los números a y b se llaman extremos del intervalo. En
particular la grafica del intervalo abierto (a,b)constan de
todos los puntos entre los dos que corresponden a a y b.
(
(-1,3)
0
1
2
)
-1
3
Intervalos cerrados y semi-abiertos (1.7)
[a,b] = {x : a ≤ x ≤ b }
[a,b) = {x : a≤ x < b }
(a,b] = {x : a < x ≤ b }
Intervalos infinitos (1.8)
{
}
{
}
{
{
}
}
(a
a[
a)
]a
Notación de límite
Problemas fundamentales
a).-Encontrar la recta tangente a una curva en un punto P dado.
b).-Encontrar la velocidad en cualquier instante de un objeto que
se mueve sobre una trayectoria recta.
l
lPQ Pendiente de LPQ
P
Q
LPQ
m =Pendiente de L
a).-
a
x
l
LPQ
a
b).- LPQ tiene a l mPQ tiende a m
x
l
P
Q
a
x
C).- LPQ tiene a l mPQ tiende a m
Si P tiende a Q por la derecha se tiene la situación de la figura (a), en la que se señala varias
posiciones de la recta secante LPQ correspondientes a las diversas posiciones de Q, por medio de
la línea punteada se ve que para Q cercano a P, lapendiente mPQ debe ser muy parecida a la
pendiente m de l . En la figura (C) Q tiende por la izquierda y otra vez se ve que mPQ se acerca a m.
Estas observaciones sugieren que si mpq tienden a un valor fijo cuando Q tiende a P entonces ese
valor se debe usar para definir la pendiente de la recta tangente l en P.
Si la función f esta definida en un intervalo abierto que contiene a a, entoncesmarcamos las
coordenadas P y Q así.
y
Q(x,f(x)
P(a, f(a)
a
x
x
Usando la formula para la pendiente se obtiene, que la pendiente de la recta secante lPQ es:
Ejercicios sobre Límites y funciones
William Anthon
Pagina 21
Granville,
Calculo
Diferencial
e
Integral
Demostrar las siguientes funciones:
Solución
Si sustituye en la ecuación original quedaría así:Esto significa que nuestra función se indefine antes de
resolverse por lo cual, se debe proceder de la siguiente
manera.
Nótese que para eliminar “x” dividimos por “x” en cada una de
las fracciones.
Aplicando
separado.
el
valor
y
el
limite
en
cada
fracción
por
4).Eliminando la variable
dividimos por “h” .
h.
Factorizamos
primero
y
luegoAplicando el limite a cada elemento de la función.
6).-
Una vez resuelto los binomios
factorizar con respecto a “z”.
y
Aplicando el límite a cada fracción
Aplicando el
límite tenemos
trinomios,
procedemos
a
8.-
Eliminando términos nos queda lo siguiente:
10.-Demostrar que
Factorizando los términos de la función.
12).- Demostrar que
Eliminandotérminos y dividiendo por h3
Ahora se tiene que
Resolviendo cada
Tenemos que:
función,
aplicando
los
valores
de
.
16.-Demostrar que
√
√
Ahora vamos a factorizar ,
de términos.
√
√
√
por medio de una multiplicación
√
[
√
√
√
]
Comparando con los productos (a-b)(a+b) como resultado se
deberá obtener: a2- b2
Por lo cual tenemos
√
√
(√Ahora eliminando
cuadrado.
la
√ )
raíz
de
(√
cada
termino
√ )
√
√
Aplicando límite:
√
√
Lo cual se quería demostrar.
√
√
√
elevado
al
18.-Dado f(x) ax2 + bx + c Demostrar que
Ahora Reduciendo por términos semejantes
Eliminamos “h” y aplicamos el límite
20.- Si f(x)= x3
Ahora aplicando el límite
Resultando
Earl W....
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