Solucionari U6

LA

MATEMÀTIQUES 1

→

→

→

→

→

→

69

j Unitat 6. Rectes en el pla

  4. Calcula a·a sabent → que→ a·b 5 3, b·b 5 4 i que l’angle que
formen els vectors a i b mesura 60º.
���
���
���
2 ���
→

→
→
→
ABb =5 4
DC ⇔ BAB
A5 4
=
DCC ⇔
− DBb⇔
−5 2
A()
5,3
= C −− D()
1,2
⇔ ()
=5,3
6,5− ()
−1,2
x , =y ()
6,5
⇔ 4,1
− ()()
x ,=y (
6⇔
− x4,1
,5 − y=)
6 − x ,5 − y )
()
()()
(
b·b− =

Activitats

���→ ���
��� ���
→
→
→
ABb =5 3
DC ⇔ Ba −·A =
DAB
⇔
5,3
DC ⇔
− ()
B1,2
− D−60º
⇔
x ,()
5,3
y ⇔− ()
4,1
1,2  1.
=(
66,5
− x−,5()()
−x ,yydiferents
⇔ 4,1 equacions
=(
6 − x ,5de
− yla)
()
()()
()
)
a·
b C·−cos
a =5 3
a −·A=2=()
·C6,5
cos
5 3
Escriu
les
recta que passa pel punt
→
P(4, 1) i té com a vector director el vector v  (2, 5).
→
3 3
Indica’n el pendent il’abscissa i l’ordenada a l’origen.
a 5 —————  ——— 5 3

2 cos 60º
1
Vectorial: (x, y)  (4, 1)  k (2, 5)
2·—
2
2
→
→
→

x  4  2k
a·a 5 a 5 32 5 9
Paramètriques:

y  1  5k
→

5

  5. Els punts A(1, 2), B(5, 3) i C(6, 5) són tres vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram. Troba les coordenades del quart
vèrtex D i les del punt d’intersecció de les diagonals.






x 4 y  1
Contínua:  ———  ———

2 5

Els vectors AB i DC són equipol·lents.



General: 5x  2y  22  0

Anomenem D(x, y)






5
Explícita:  y  —x  11

2





5 22
m  —
p  ——
2 5

→


→


Llavors

��� →
���
��� ���
AB
AB5= DC ⇔ BB −2 A
A =5 C
AB
C −=2 D
D DC
⇔⇔
5,3
(5,
B −−3)
A()
1,2
=2 (1,
C −= D()
2)
6,5
⇔5()
−5,3
x ,−y ()
1,2
⇔=4,1
6,5
−6 ()()
−x ,x ,5
y −⇔y )
4,1
6y − x ,5 − y )
=(

x = (
()
()()
()
��� ���
Canònica:  ——  ——  1
1)=5 (6
55,3
2 y)
5 (6, 5) 2 (x,
y) ⇔ B(4,
AB = DC
−A
C − D2 x,
⇔ ()
− ()
1,2 = ()
6,5 − ()()
x , y ⇔
4,1 = (
6 −22
x ,5 − y11
)
—


5
Tenim el sistema:
→


4 = 6 − x

1 = 5 − y

La solució és: x 5 2 i y 5 4.

n  11

El punt buscat és D(2, 4).
El puntd’intersecció de les diagonals és el punt mig M dels
segments AC o BD:
M=

A + C (1, 2) + (6, 5) (7, 7  7 7 
=
=
= , 
2 2
2
2
2

  6 Els vèrtexs d’un triangle estan situats en els punts A(1, 2),
B(3, 4) i C(7, 4).
a) Demostra que el triangle és rectangle en el vèrtex A.
AB = (2, 6) , AC = (6, −2)
AB ⋅ AC = 12 − 12 = 0 → AB ⊥ AC → Aˆ = 90º
b) Comprova que els costats del triangle verifiquenel teorema de Pitàgores.
AB = AB = 40 = 2 10 u


AC = AC = 40 = 2 10 u

BC = ( 4, − 8) → BC = BC = 80 = 4 5 u


 2. Considera la recta d’equació vectorial:
(x, y)  (3, 2)  k  (2, 1)


Determina quin és el valor de b per tal que el vector
→
v  (3, b) sigui un vector director de la recta.





v  (3, b)

→
u  (2, 1)











→









c) Calcula l’àrea deltriangle.
AB ⋅ AC 40
40
  20 u2   20 u2
Àrea
2
2
2









2

→

3
b 3
→  ——  ——  →  b  —
2
1 2

x y
——  —  1  →  x  2y  4  →
4 2
→  x  2y  4  0




2

→

v  k u  →



x y
  3. Per a la recta d’equació ——  —  1, escriu les equacions

4 2
general i explícita. Indica’n un vector director.

Es verifica: BC = AB + AC → 80 = 40 + 40 → triangle rectangleisòsceles
2

6

x  4 1
2y  x  4  →  y  ———  →  y  —x  2


2 2
1
→
m  —  →  v  (2, 1)
2

70

LA

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE

 4. El punt A(3, 1) és de la recta que passa pel punt P(2, 2) i
→
té com a vector director v  (1, 3)? Justifica la resposta.



P(2, 2)
y 2

x  2  ———  →
→
v  (1, 3)

3

6

→ 3x  y  4  0


A  (3, 1)  → 33  1  4  9  1  4  12  0.No és de
la recta.

 8. Esbrina si el punt P(5, 1) pertany o no a cadascuna de les
rectes. Justifica les respostes.


a) (x, y)  (1, 1)  k(2, 1)
(x, y)  (1, 1)  k(2, 1)  →




→


x  1  2k

5

y  1  k

5

5  1  2k  →  k  2

P(5, 1)  →

1  1  k  →  k  2

  5. Quin és el pendent de la recta x  3? Per què?



Sí és de la recta....