solucionario de trigonomeria

8

Resolución de triángulos rectángulos

1. Circunferencia goniométrica

PIENSA Y CALCULA
Escribe la fórmula de la longitud de un arco de circunferencia de radio 1 m, y calcula, en función de π, la longitud del arco correspondiente a:
a) 90°
b) 180°
c) 270°
d) 360°
Solución:
2π · nº
L = ——
360°
2π · 90° = —
πm
a) ——
360°
2

2π · 180° = π m c) ——
2π · 270° = —
3π m
b) ——
360°
360°
2

2π · 360° =2π m
d) ——
360°

APLICA LA TEORÍA
1 Pasa los ángulos siguientes a radianes:

a) 30°

b) 120°

c) 270°

d) 315°

180°
c) 1,5 rad · —— = 85° 56’ 37’’
π rad
180°
d) 2,5 rad · —— = 143° 14’ 22’’
π rad

Solución:
π rad π
a) 30° · —— = — rad
180°
6

3 Determina cos a sabiendo que el ángulo a está en

π rad 2π
b) 120° · —— = — rad
180°
3

el 2° cuadrante y que sen a = 0,2

π rad 3π
c) 270° · —— = — rad180°
2

Solución:

π rad 7π
d) 315°· —— = — rad
180°
4
0,2

1
cos a

a

a) 0,5 rad

b) 1 rad

c) 1,5 rad

d) 2,5 rad

Solución:

sen2 a + cos2 a = 1

180°
a) 0,5 rad · —— = 28° 38’ 52’’
π rad

0,22 + cos2 a = 1 ò cos a = – 0,9798

180°
b) 1 rad · —— = 57° 17’ 45’’
π rad

4 Calcula tg a, sabiendo que el ángulo a está en el

246

3er cuadrante y que cos a = – 0,7
SOLUCIONARIO

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2 Pasa los ángulos siguientes a grados:

Solución:
°
30
sec
30°
O cos 30°

1

tg a
sen a

–0,7

a

1
cotg 30°

1+

tg2

a=

sec2

a

( )

1
1 + tg2 a = – —
0,7

1

2

tg 30°
30°

O

tg a = 1,0408
5 Determina las razones trigonométricas del ángu-

lo a si está en el 4° cuadrante y sen a = – 0,4
7 Dibuja en la circunferencia unidad los ángulos si-

Solución:

guientes:
a) 1 485°
a

cos a
–0,4tg a

b) 2 370°

c) 2 100°

Solución:
a) 1 485° = 45° + 4 · 360°

45°

sen2 a + cos2 a = 1
(– 0,4)2 + cos2 a = 1 ò cos a = 0,9165
sen a
tg a = —— = – 0,4364
cos a
sec a = 1,0911

b) 2 370° = 210° + 6 · 360°

cosec a = – 2,5
cotg a = – 2,2915
210°

6 Dibuja en la circunferencia unidad el ángulo de 30°

y dibuja el segmento que representa a cada una de
las razones trigonométricas.
Solución:

c) 2100° = 300° + 5 · 360°
1

ec
cos

30°

°

30

sen 30°

300°

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O

TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

247

2. Reducción de razones, identidades y ecuaciones

PIENSA Y CALCULA
Dibuja en la circunferencia unidad todos los ángulos que cumplen que:
a) sen a = 1/2
b) cos a = – 1/2
Solución:
a)

b)
1/2

–1/2

APLICA LA TEORÍA
8 Dibuja en la circunferencia unidad dosángulos que

cumplan:
a) sen a = 3/4

b) cos a = – 1/4

c) sec a = 2,5

d) tg a = 2

d) tg a = 2

2

Solución:
a)
3/4

b)
–1/4

9 Calcula, reduciendo al 1er cuadrante, las razones

trigonométricas siguientes:
a) cos 120°
b) sen 300°
c) sec a = 2,5 ò cos a = 0,4

Solución:
a)
120°
60°
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2,5

0,4

1
cos 120° = – cos 60° = – —
2
248

SOLUCIONARIO

b)

b) 1 230° = 150° +3 · 360°
300°

60°
150°

—
√3
sen 300° = – sen 60° = – —
2
10 Calcula, reduciendo al 1er cuadrante, las razones

30°

—
√3
cos 1 230° = cos 150° = – cos 30° = – —
2
c) 2 385° = 225° + 6 · 360°

trigonométricas siguientes:
a) tg 210°

b) sen 135°
225°

Solución:
a)
210°

45°

30°

tg 2 385° = tg 225° = tg 45° = 1
d) 2 820° = 300° + 7 · 360°
—
√3
tg 210° = tg 30° = —
3

300°

60°

b)
135°

45°

cos2 820° = cos 300° = cos 60° = 1/2

—
√2
sen 135° = sen 45° = —
2

12 Demuestra que:

a) sec2 x – tg2 x = 1
b) (cosec x + tg x) cos x = sen x + cotg x

11 Calcula, reduciendo al 1er cuadrante, las razones

trigonométricas siguientes:

Solución:

a) sen 1 830°

b) cos 1 230°

c) tg 2 385°

d) cos 2 820°

(

)

1
sen x
cos x
b) —— + —— cos x = —— + sen x =
sen x cos x
sen x

Solución:
a) 1 830° =30° + 5 · 360°

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1
sen2 x 1 – sen2 x cos2 x
–
——
a) ——
= ———
= ——
=1
cos2 x
cos2 x
cos2 x cos2 x

= cotg x + sen x

30°

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
13 2 sen x = 1

sen 1 830° = sen 30° = 1/2
TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Solución:
sen x = 1/2
249

16 3 sen x – 2 cos2 x = 0

Solución:

150°
30°

1/2

3 sen x – 2(1 – sen2 x) =...