Solucionario Examen 2011 Stgo

Problema 1. En un proyecto específico, se analizó un conjunto de n datos, los cuales podemos
2
asumir que provienen de una población normal con media conocida μ y varianza desconocida σ .
2

a) Obtenga el estimador por el método de momentos del parámetro σ .
2

b) Obtenga el estimador máximo verosímil (EMV) del parámetro σ .

(2 ptos.)
(3 ptos.)

c) Se desarrolló un estudio de simulación delproyecto considerando μ = 0 y un cierto valor de σ2.
Utilice la muestra dada y el EMV obtenido en a) para obtener la estimación puntual del valor
2
de σ .
(1 pto.)

Solución
a)

El EMM consiste en igualar momento poblacional con el muestral
Aquí E(X) = ‫̅ݔ‬

E(X2) = തതത
‫ݔ‬ଶ

µ = ‫̅ݔ‬

pero µ se conoce, luego no se sustituye.

µ2 + σ2 = തതത
‫ ݔ‬ଶ (Aquí se utiliza el hecho que Var(X) = E(x2) – E(X)2,luego se
reemplaza)
ߪො2 = തതത
‫ ݔ‬ଶ - µ2

(

b) L = ∏௡௜ୀଵ ݂(‫ = )݅ݔ‬2πσ 2

(

)

−n / 2

 −1
exp 2
 2σ

)

n

∑ (x
i =1

-n
1 n
2
ln 2πσ 2 −
∑ ( xi − µ )
2
2σ 2 i =1
ௗ௅∗
-n
1 n
=
( x i − µ )2
+
2
4 ∑
ௗఙ మ
2σ
2σ i =1

L* = Ln(L) =

ௗ௅∗

=0
ௗఙ మ

σˆ 2 =

1 n
( x i − µ )2
∑
n i =1

i

2
− µ) 


c)

Aquí µ=0

σˆ 2 =

1 n
( x i )2
∑
n i =1

36.6032
10
σˆ 2 = 3.66032

σˆ 2 =

Problema 2. Unfabricante de productos plásticos ha desarrollado un nuevo tipo de envase para la
basura. El fabricante espera que los envases nuevos tiendan a durar más que los convencionales.
Sea

XN = duración de un envase nuevo
XC = duración de un envase convencional

Sea PN = Prob. (XN > 6) y PC = Prob. (Xc >6). El fabricante desea que PN > PC.
Se sabe que históricamente el 70% de los envases convencionales duramás de 6 años, es decir
PC = 0,7.
Se tomaron 20 prototipos de envases nuevos y se sometieron a una prueba acelerada para simular
6 años de uso.
Si X = Número envases nuevos que duran más de 6 años.
a) Si en la prueba acelerada resultó que 14 envases resistieron la prueba. Se puede concluir
con un nivel de significación de 5% que la probabilidad con el nuevo procedimiento es
mayor que la probabilidadpara los envases convencionales.
(4 ptos.)
b) Calcule el valor-p e interprete su valor en términos de evidencia en contra de alguna
hipótesis.
(2 ptos.)
(NOTA: Puede asumir que n*p es grande)

Solución
Parte a)
P1) H0: p = 0.7 vs H1: p > 0.7 (p0= 0.7)
P2) Zc =

௣ොି௣బ

೛ (భష ೛బ )
ට బ

con ‫ = ̂݌‬0.7

=0

೙

P3) Se rechaza H0 si Zc > Z 1- α = 1.64 (o 1.645 según si se interpola)
P4) Como Zc = 0 noes mayor que 1.64
nivel de significancia del 5%.

no existe evidencia que rechace H0 con un

Esto es, no se puede garantizar que la probabilidad con el nuevo procedimiento es mayor
que la probabilidad para los envases convencionales.

Parte b)
Podemos considerar un valor Z 1- α = 0.01 (sería mayor que Zc=0)
1-α= 0.5040
valor – p = 0.4951 ≈ 0.5.

Problema 3. Se tomó una muestra de 10 peces dellago A y se midió su concentración de PCB
utilizando una técnica A. También se tomó una muestra de 10 peces del lago B y se midió su nivel
de PCB usando una técnica B distinta a la usada para el lago A.
Los datos obtenidos, en partes por millón, fueron:
Lago A

11.5

10.8

11.6

9.4

12.4

11.4

12.2

11

10.6

10.8

Lago B

11.8

12.6

12.2

12.5

11.7

12.1

10.4

12.6

10

11.1

Si se sabe que latécnica de medición usada en el lago A tiene una varianza de 0.09; mientras que
la técnica usada en el lago B tiene una varianza de 0.16.
a) ¿Rechazaría usted la afirmación de que los dos lagos tienen el mismo nivel de PCB?
Utilice un nivel de significancia del 5%.
(4 ptos.)
b) Considerando sólo los datos del lago A y bajo las mismas hipótesis del enunciado. Qué
tamaño debe ser la muestra para queel error de estimación de la media poblacional no
supere el 3% y con un 5% nivel de confianza..
(2 ptos.)

NOTA: Puede ser útil los siguientes resultados
Promedio Desviación
estándar
Lago A

11.17

0.8616

Lago B

11.7

0.9201

Solución
P1) H0: µA = µB vs H1 H0: µA ≠ µB
P2) Z obs =

(x1 − x 2 ) − ( µ x − µ y ) H 0
σ

2
1

n1

+

σ

2
2

n2

=

11.7 − 11.17
0.09 0.16
+
10
10

= 3.35201

P3) Se...