SOLUCIONARIO MATEMATICA III

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1
PROBLEMAS RESUELTOS

Tema 3 Derivación de funciones de varias variables
3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables
!

1. Derivadas parciales de primer orden .

!

2. Diferencial total y cálculo aproximado.

!

3. Derivadas parciales y diferenciales de órdenes superiores.

!

4. Derivada direccional y vector gradiente.

!

5.Derivada de la función compuesta.

!

6. Derivada de funciones implícitas.

3.2 Plano tangente y recta normal a una superficie
3.3 Extremos de una función de varias variables
!

1. Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales.

!

2. Extremos condicionados.

!

3. Extremos absolutos en regiones compactas.

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3.1 Derivadas ydiferenciales de funciones de varias variables
3.1.1. Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una función
respecto a la variable independiente al siguiente límite, si existe y es finito:

calculado suponiendo

con

constante.

Se llama derivada parcial de una función
siguiente límite, si existe y es finito:

con respecto a la variable independiente

alcalculado suponiendo

constante.

Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta
considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que
estamos derivando.
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1. Halla, aplicando la definición, las derivadas parciales de lafunción
Solución:
Considerando

como una constante, tenemos:

Considerando

como una constante, tenemos:

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2 Dada la función

definida por

Halla

y

.

Solución:

Considerando

como una constante, tenemos:

Considerando

como una constante, tenemos:

.

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3. Dada la función

definida por

Halla

y

Solución:

.
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4. Dada la función f definida por
(1,1,1).

. Halla sus derivadas parciales en el punto P

Solución:
Podemos elegir entre aplicar la definición de derivada en el punto P(1, 1, 1). o lo que es más fácil,
calculamos las derivadas parciales y en ellas sustituimos.Volver al comienzo de la Página

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5. Calcula las derivadas, en el punto P(0, 0), de la función f definida por:

Solución:
En este caso es más conveniente aplicar la definición de derivada en el punto P(0, 0). ya que si
calculamos las derivadas parciales y en ellas sustituimos, nos encontramos con una indeterminación.

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6. Prueba que la función f definida por

Solución:
Hallamos las derivadas parciales.

satisface la ecuación:

;
Sustituimos las expresiones halladas en el primer miembro de la ecuación y operamos:

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3.1.2. Diferencial total y cálculo aproximado. Se llama incremento total de una función
un punto
a ladiferencia
donde
y
son
incrementos arbitrarios de los argumentos.
Se llama diferencial total de la función
diferenciable)

en

a la siguiente expresión (si la función es

(si la función no es diferenciable esta expresión no tiene ningún

significado).
Una función se dice que es diferenciable en el punto

si el siguiente límite existe y es cero.

Condiciones necesarias dediferenciabilidad:
!

Si la función

es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto.

!

Si la función
es diferenciable es un punto, entonces existen las derivadas parciales
y
en ese punto.

(los recíprocos de estos teoremas no son ciertos).
Condiciones suficientes de diferenciabilidad: Si las derivadas parciales son...