SOLUCIONARIO U1 S1 ANTIDERIVADA

CURSO: CÁLCULO II
Antiderivada - Integral Indefinida

Tema :

Docentes: Juan Ponte

SOLUCIONARIO
En los siguientes ejercicios, halle las integrales dadas
1)

2)

x3
 3 dx
Solución:
x3
1 3
1 x4
x4
dx

x
dx



C

C
3
3
3 4
12

  3x

3



 2 x  5 dx

Solución:

  3x

3)

 y

2

3



 2 x  5 dx   3x3dx   2 xdx   5dx  3 x3dx  2 xdx  5 dx



 x4 
 x2 
3
 3   2    5 x  C  x 4  x 2  5 x  C
4
 4 
 2 

 y 4  2 dy

Solución:


4)



y 2  y 4  2 dy   y 2 dy   y 4 dx   2dx 

1

y

3

y3 y 4

 2x  C
3
4

dy

Solución:
1
y 2
1
3
dy

y
dy

C   2 C
 y3

2
2y
5)

 x 2  3x  2 
  x  2 dx



Solución:

 x 2  3x  2 
 x  2  x  1
  x  2 dx   x  2 dx    x  1dx



6)

  3x

  xdx  dx 



2

x2
 xC
2

 5 x  2 dx

Solución:

  3x

2



 5 x  2 dx   3x 2 dx   5 xdx   2dx

 x3 
 x3/2 
 3 x 2 dx  5  x1/2 dx  2 dx  3    5 
  2 x  C
 3
3/ 2

 x3 

7)

2 5 3/2
x  2x  C
3

4

  t  5e

t


dt


Solución:
4

t

4
1

t
t
t
dt   dt   5e dt  4 dt  5 e dt  4ln t  5e  C
t
t


 1

5

  t  5e
8)


 e x /2 dx
x


 3x 

Solución:
 1

1 1
1

 e x /2 dx   dx  5 1/2 dx   e x /2 dx
3 x
x
x


5

  3x 

 x1/2 
1
1  x /2 1
 x /2
 ln x  5 x 1/2 dx 
e
 ln x  5 
  2e
3
1 / 2
3
1
/
2



1
 ln x  10 x1/2  2e x /2
3

9)

 e

y



2

 1 dy

Solución:

 e

2y



 2e y  1 dy   e 2 y dy   2e y dy   dy 

e2 y
 2e y  y  C
2

 e3 x


 2sin x dx
 3


10) 

Solución:
 e3 x


e3 x
1
 2sin x dx  
dx   2sin xdx   e3 x dx  2 sin xdx
3
3
 3

1  e3 x 
1 3x
 
  2cos x  C  e  2cos x  C
3 3 
9

 





11)  e0.02t e0.13t  4 dt
Solución:

e

e

0.02t

0.13t







 4 dt   e0.15t  4e0.02t dx   e0.15t dt   4e0.02t dt

e0.15t
20
e0.02t
 4 e0.02t dt   e0.15t  4
C
0.15
3
0.02
20
  e0.15t 200e0.02t  C
3



12)

  tan

2



x  3cos x dx

Solución:

  tan

2







x  3cos x dx   tan 2 xdx   3cos xdx   sec2 x  1 dx   3cos xdx

  sec xdx   dx  3 cos xdx  tan x  x  2sin x  C
2

2



13)    2sin  2x  dx
x

Solución:
2



2

1

  x  2sin  2 x  dx   x dx   2sin  2 x dx  2 x dx  2 sin  2 x dx
 2ln x  2

cos(2 x)
 C  2ln x  cos(2x)  C
2

 3z 2  2 z  3 
dz
z



14)  

Solución:
 3z 2  2 z  3 
 3z 2 2 z 3 
3

dz


 
  z  z  z dz    3z  2  z dz
z




3
1
  3zdz   2dz   dz  3 zdz  2 dz  3 dz
z
z
3 2
 z  2 z  3ln z  C
2





15)  t 1/2 t 2  t  2 dt
Solución:

t

1/2

t

2







 t  2 dt   t 3/2  t1/2  2t 1/2 dt   t 3/2 dt   t1/2 dt   2t 1/2dt

t
t
2
2
t1/2

 2 t 1/2 dt  t 5/2  t 3/2  2
C
5/ 2 3/ 2
5
3
1/ 2
2
2
 t 5/2  t 3/2  4t1/2  C
5
3


5/2

3/2

16)

x

3



1

 2 x 2   5 dx
x


Solución:

x

3








17)   x3 








1

 2 x 2   5 dx   x 2  5 x3  2 x  10 x 2 dt   5 x3  11x 2  2 x dt
x

  5x3dx  11x 2 dx   2 xdx  5 x3dx  11 x 2dx  2 xdx

5 4 11 3
x  x x2  C
4
3


 2
2 x

1

Solución:


 

x3 

1



 2 dx    x3/2  1/2  2  dx
2 x
2
x



1
x5/2 1 1/2
  x3/2 dx   x 1/2 dx   2dx 

x dx  2  dx
2
5/ 2 2
2
2  x1/2 
2 5/2 4 1/2
 x5/2  
  2 x  C  x  x  2 x  C
5
3 1/ 2 
5
3
1

Resuelve los siguientes problemas
1) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q unidades de
ciertoartículo es R '(q)  4q  1.2q 2 dólares por unidad. Si el ingreso derivado de la
producción de 20 unidades es de $30000, ¿cuál será el ingreso esperado por la producción
de 40 unidades?
Solución:
Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función del ingreso R(q) . Entonces,
dR
 4q  1.2q 2
dq
dR
, así
dq
dR
1.2 3 4 2
R( q )  
 (1.2q 2  4q)dq  
q  q  C  0.4q3  2q 2 ...