Soluciones Matematicas Sm 1º Bachiller Tema De Integrales

Solucionario

12

Integración
ACTIVIDAD INICIAL

12.I. Encuentra la función que mide el área de las regiones limitadas por el eje horizontal y las rectas: a) y b) y 3x 3; x 1; la recta vertical trazada por el punto de abscisa x con x > 1. x 6 si x > 3; la recta vertical trazada por el punto de abscisa x.

x si x ≤ 3; y

Distinguir entre 0 ≤ x ≤ 3 y 3 < x ≤ 6. En ambos casos, calculatambién la derivada de las funciones área obtenidas. a) Área b) Si x Si x 9 2 F(x) 3, Área 3, Área 1 (9x 2 1 (x 2 F(x) F(x) 27 x2 1 2 x 2 1 2 x 2 9 2 1)(3x 1 2 x 2 3 6 2 x 1 2 x 2 si x 6x F(3 9 si 3 h) h 3 F (x) x F(3) 6 , obtenemos lim
h→0

3)

3 2 (x 2

2x

1), F (x)

3x

3.

(x 6x

3) 9

9 2

1 (9 2

x)(x

3)

3x)

Así pues, F(x)

x x F(3

si x 6 si x h) h F(3)3 3 1 (3 2 h) 2 h 9 2

Para obtener F (3), es decir, lim
h→0

h→0

lim

1 h 6h lim 2 h→0 h
h→0

2

3 y lim 1 (3 2 h)2 6(3 h si x x 6 si x 3 3 h) 9 9 2 lim 1 2 h 2 h 3h 3.

lim

F(3

h) h

F(3) x

h→0

h→0

así que F (x)

12.1 Calcula el área de las regiones sombreadas.
Y f (x) = 3 – 3x 2 g(x) = senx 1 O 1 X 1 O π 2 X Y

a) F(x) Área b) G(x) Área

3x F(1)

x3F( 1) 2 ( 2) 4

cos x G( ) G(0) cos ( cos 0) 2

12.2 Halla el área del recinto sombreado.
Y h(x) = x 1 O 1 X

H(x) Área

2 3 x2 3 H(4) H(0) 16 3 (0) 16 3

12.3 Calcula el área de la zona limitada por la gráfica de y Área G(2) G(0) con G (x) x2, así que G(x)

x2, el eje X y las rectas x

0 y x

2.

1 3 8 x y el área pedida es . 3 3

138

Solucionario

12.4 Calcula el áreaencerrada por la parábola y Área G(2) G( 2), siendo G (x) G( 2) 32 3 0 (x2

x2 4)

4 y el eje horizontal. 4 x2, o sea, G(x) 4x 1 3 x . 3

Así pues, G(2)

12.5 Calcula el área de la figura. Y 1 O π 4 y = cos x F(x) X y = sen x Área T 4 T(0) cos x ⇒ T(x) sen x 2 2 cos x 2 2 1 2 1 T(x) G(x) F(x), en donde G(x) sen x y

12.6 Calcula el área de la región limitada por el eje vertical, la rectay

e y la curva y

e x.
Y

Las líneas y e, y e x se cortan cuando x 1, así que el área pedida es (F G) (1) (F G) (0), siendo F (x) G (x) e e x, es decir, (F G) (x) ex ex, por lo que (F G) (1) (F G) (0) 1.

1 O 1 X

12.7 Calcula el área encerrada entre las curvas f(x) Las curvas f (x) x 0, x 1, x x (x 3. 1)(x 2) y g (x) x (x

x(x

1)(x

2) y g(x)

x(x

1). 1) [x 2 1] 0, esdecir,

1) se cortan cuando x (x

Un esbozo de las gráficas de f y g nos conduce a:
Y

Por lo que en [0, 1] es f (x) (F G) (1) 2 (F (F G) (0) (F x3 1 3 x 3

g (x) y en [1, 3] es g (x) (G F) (3) (F (G F) (1)

f (x), y el área pedida es:

G) (1)

G) (0)

G) (3), donde F (x)

f (x) y G (x)

g (x).

1

Así pues, F (x)
O 1 X

es decir, G(x) pedida es 37 . 12

1 4 3x 2 2x, conlo que F(x) x x3 x 2 y G (x) x2 x, 4 2 x 1 4 4 3 3 2 , por lo que (F G) (x) x x x y el área 2 4 3 2

12.8 Calcula el área del recinto limitado por la curva y Un esbozo de la región es este:
Y P T 1 Q R X

1 ——, las rectas y x

x, x

2 y el eje horizontal.

1 , y Hallamos el punto de corte de las líneas en cuestión, que son P (1, 1) y Q 2, 2 el área del recinto es: Área triángulo OPTdecir, G(x) Área región TPQR 1 4 1 2 1 G(2) 5 . 4 G(1), siendo G (x) 1 , es x

1 O

1 1 , y el área es: x2 2

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12.9 Calcula las siguientes integrales indefinidas. a) b) (2x 4 x3 3x 2 1 —— x2 3x 2 1 x2 x x3 x2 1) dx x dx 2x 5 5 (x 3
3

c) d)

x x3 2x —— dx x2
3

x 7 dx

a) b) c)

(2x 4 (x 3

1)dx x)dx 2x dx

x3 x
2

x
1

C x 2 )dx 2 dx x1 4 x 4 2 x 1 x 1 2 x 2 2 3 x3 C C

x2 6 13
6

x

2 ln x

d)

3

x 7 dx

7

x 6 dx

x 13

C

12.10 Halla las primitivas de las funciones siguientes. a) f (x) b) f (x) 3x 3ex 4 — x 3e x C c) f (x) d) f (x) 5 sen x
3

1 —— 1 x2

x

cos x 1 1 x2 3 4
3

a)

3e xdx 3x 4 dx x

c)

5 sen x
3

dx x4

5 cos x

arccos x

C

b)

1 x 3 In3

4 In x

C...