Soluciones taller integrador ii

Taller Integrador II

SESION 2

1. Una piedra desciende en caída libre de una saliente del cerro de la silla. Si la masa de la piedra es de 40 Kg. Despreciando la resistencia del aire, que velocidad adquiere después de 5 segundos si aun no llega al suelo

Solución

Aplicando la segunda Ley de Newton F=ma,
donde la fuerza es el peso, es decir F=mg y a= dvdt

Se tienemdvdt=mg

dvdt=g

dv=gdt

Integrando
dv=gdt

v=gt+c, como v(0)=0

v(0)=g(0)+c , de donde c = 0

Así,
vt=gt

Considerando g=9.8 ms2

Si t=5 v5=g(5)
v5=(9.8)(5)

Por lo tanto,
v5=49 ms

2. Una pelota que pesa 34 lb se lanza verticalmente hacia arriba desde un puntoque se encuentra 6 pies arriba de la superficie terrestre con una velocidad inicial de 20 piesseg. A medida que asciende actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a 164 v (en libras), donde v es la velocidad (en pies por segundo). ¿A qué altura llegará la pelota?

Solución:

Aplicando la Ley
F=ma donde a=dvdt

Considerando las dos fuerzas queactúan el peso mg y la resistencia del aire Kv, se tiene la ecuación mdvdt=-mg-Kv

Simplificando se obtiene la ecuación lineal
dvdt+kmv=-g

Resolviendo con el factor integrante,
ekmt se obtiene vt=-mgk+ce-kmt

Como k=164, mg=34 , g=32 , vt=-48+ce-23t

Aplicando la condición v(0)=20 , se tiene c=68

Así
vt=-48+68e-23t

Haciendo vt=0, se obtienet=0.522460041, que es el tiempo donde la pelota llega a la altura que se pregunta.

Por otro lado calculando s(t)=vtdt
s(t)=-48t-102e-23t+k

Aplicando la condición s0=6 se tiene k=108

Así,
s(t)=-48t-102e-23t+108

Sustituyendo t=0.522460041

Se tiene que
s=10.92

Por lo tanto, la altura a la quellegara la pelota es 10.92 pies
SESION 3

1. La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez con que un cuerpo se enfría es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio en que esta situado. Un cuerpo cuya temperatura es de 80°F se coloca en el tiempo t=0 en un medio en el que la temperatura se conserva a 50°F. Después de 5 minutos el cuerpo se haenfriado hasta una temperatura de 70°F. Determinar:
a) La temperatura del cuerpo después de 10 minutos
b) En que momento la temperatura del cuerpo será de 60°F

Solución:

Usando,
dTdt=k(T-T∞)

Sustituyendo T∞=50 y resolviendo por separación de variables se obtiene la solución general,
Tt=50+cekt

Aplicando la condición T(0)=80, se obtiene c =30. Con lo cual,
Tt=50 +30ektUtilizando la condición T(5)= 70, se tiene que k= -0.081093021 . Así,
Tt=50+30e-0.081093021 t

a) Si t =10, T10=50+30e-0.081093021=63.33°F

b) t =?, T(t)=60

60=50+30e-0.081093021 t

Despejando
t=13.547 minutos

2. Por razones obvias, la sala de disección de un forense se mantiene fría a una temperatura constante de 5°C. Mientras se encontraba realizando la autopsia dela victima de un asesinato, el propio forense es asesinado, y el cuerpo de la victima robado. A las 9:35 A.M. el ayudante del forense descubre su cadáver a una temperatura de 23 °C. Dos horas después, su temperatura es de 18.5 ° C. supuesto que el forense tenia en vida la temperatura normal de 37 °C. ¿A que hora fue asesinado?

Solución:

Formula dTdt=k(T-T∞)

t1= tiempo transcurridodesde que el forense murió hasta haber sido descubierto por su ayudante, 9:35 A.M.

Datos, T∞=5 , T(0)=37 , T(t1)=23 , T(t1+2)=18.5

Resolviendo dTdt=k(T-5) por separación de variables
T(t)=5+cekt

Usando la condición T(0)=37 , se tiene que c = 32

Así,
T(t)=5+32ekt

Aplicando
T(t1)=23 , se tiene 23=5+32ekt1

De donde simplificando,

ln916=kt1...