Soluciones Tema3

Teor´ıa de las decisiones y de los juegos 2007 - 2008
Grupo 51
Ejercicios - Tema 3
Juegos din´amicos con informaci´on completa
1. Considere el siguiente juego en su forma extensiva.

A
1

(0, 2)

2

I
D

(2, 1)

2

I
D

B

(3, 0)

(1, 3)

Figura 1: Juego, ejercicio 1
(a) Especificar el conjunto de estrategias puras de cada jugador.
Soluci´on. El jugador 1 tiene un solo conjunto de informaci´on(v´ease la Figura
2) al cual corresponden dos posibles acciones. Por tanto, el jugador 1 tiene
21 = 2 estrategias: S1 = {A, B}.
conjuntos de informaci´on

A
1

(0, 2)

2

I
D

(2, 1)

2

I
D

B

(3, 0)

(1, 3)

Figura 2: Juego, ejercicio 1: conjuntos de informaci´on
El jugador 2 tiene dos conjuntos de informaci´on (v´ease la Figura 2). En cada
uno de estos dos conjuntos dispone de dos posiblesacciones. Por tanto, el
jugador 2 tiene 22 = 4 estrategias: S2 = {II, DD, ID, DI}. Por ejemplo,
la estrategia DI corresponde al plan de escoger D si el juego llega al nodo
superior, y escoger I si el juego llega al nodo inferior.
(b) Calcular los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos, los pagos y la
trayectoria.
Como cada conjunto de informaci´on contiene un u
´ nico nodo de decisi´on se
trata deun juego con informaci´on perfecta (es decir, en cada nodo de decisi´on
el jugador al que toca escoger una acci´on conoce las jugadas anteriores). Por
tanto, el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (EPS) es el equilibrio por
inducci´on hacia atr´as. Empezamos al final del arb´ol, es decir, buscamos las
1

A
1

(0, 2)

2

I
D

(2, 1)

2

I
D

B

(3, 0)

(1, 3)

Figura 3: Juego, ejercicio 1:EPS, paso 1
acciones ´optimas para el u
´ ltimo jugador. En la Figura 3 estas acciones est´an
indicadas por las flechas.
Ahora solamente nos falta por buscar la acci´on ´optima del jugador 1 (que
anticipa las acciones del jugador 2). En la Figura 4 vemos que si el jugador 1
escoge la acci´on A obtendr´a un pago de 0, y si escoge la acci´on B obtendr´a un
pago de 1. Por tanto la decisi´on ´optima,indicada por la flecha correspondiente,
es B.
(0, 2)
(0, 2) I
2 D (3, 0)
A
1

B

(1, 3) I
D
2

(2, 1)
(1, 3)

Figura 4: Juego, ejercicio 1: EPS, paso 2
Concluimos de la u
´ ltima figura que el u
´ nico EPS es (B, ID) (es decir, la
estrategia B para el jugador 1 y la estrategia ID para el jugador 2). La
trayectoria correspondiente es la serie de decisiones que se llevan a cabo si se
juega esteequilibrio: B − D. Los pagos resultantes son por tanto (1, 3).
2. Para hacer la paz, hay que prepararse para la guerra. Considere el siguiente juego
en el cual los pa´ıses 1 y 2 deben decidir simultaneamente si adquirir armas (A) o
no (N). En una segunda etapa del juego el pa´ıs 1 observa si 2 ha adquirido armas
o no y debe decidir si hacer la paz (P ) o la guerra (G).

A
1

2

N
2

A
N

A
N

1
1
1
1

GP
G
P
G
P
G
P

Figura 5: Juego, ejercicio 2

2

(−4, −4)
(0, 0)
(3, −3)
(−1, 0)
(−3, 3)
(0, −1)
(−2, −2)
(2, 2)

(a) ¿Cu´antas estrategias puras tiene cada jugador?
Soluci´on. El jugador 1 tiene 5 conjuntos de informaci´on (v´ease la Figura 6). En
cada uno de sus conjuntos de informaci´on el jugador 1 dispone de 2 acciones.
Por tanto, el jugador 1 tiene 25 = 32 estrategias. Por ejemplo, AGP P Ges una
de estas estrategias.
conjuntos de informaci´on

A
1

2

N
2

A
N

A
N

1
1
1
1

G
P
G
P
G
P
G
P

(−4, −4)
(0, 0)
(3, −3)
(−1, 0)
(−3, 3)
(0, −1)
(−2, −2)
(2, 2)

Figura 6: Juego, ejercicio 2: conjuntos de informaci´on
El jugador 2 tiene un solo conjunto de informaci´on (v´ease la Figura 6). Tiene
a su disposici´on 2 acciones. Por tanto, el jugador 2 tiene 2 estrategias: S2 =
{A, N}.
(b)Hallar los equilibrios perfectos en subjuegos (en estrategias puras), los pagos y
la trayectoria.
Soluci´on. Hay un conjunto de informaci´on con m´as de un nodo de decisi´on
(el conjunto de informaci´on del jugador 2). Por tanto, se trata de un juego
con informaci´on imperfecta (es decir, en alg´
un nodo de decisi´on el jugador al
que toca escoger una acci´on desconoce alguna jugada anterior). Por...