SOLUCIONES Vectores 1

Ejercicio 05
Un tractor se atasca en el barro, para
evitar cualquier desviación al momento
de sacarla el operador tiene utilizados
camiones situados en los puntos A y C, tal
como muestra la figura 01. Si la fuerza
necesaria para sacarla es de 400 lb en la
dirección del tractor, determine las
fuerzas que deben ejercer los cables
sobre el tractor para que no exista
componente perpendicular a ladirección
del tractor, y así evitar la desviación del
mismo.

Figura 01

Solución
Primero ubicamos los puntos O, A, By C, identificando las fuerzas que ejercen los
camiones sobre el tractor, FOA y FOC , esto se visualiza en la figura 02.
Debido a que la fuerza resultante de estos dos camiones sobre el tractor no debe
tener componente perpendicular a la dirección del tractor (esto significa que lafuerza resultante deberá tener únicamente componente sobre la línea OB).
Entonces, al colocar los vectores fuerza

FOA y FOC , consecutivos entonces el
vector resultante sería aquel que parte del
comienzo de los dos y llega al final de los
dos, el cual se debe encontrar sobre la
línea OB, a este vector lo llamaremos F// ,
cuyo módulo es 400 lb (por dato del
problema). La figura 03 muestra eseanálisis.

Figura 02

Figura 03

Para despejar el ángulo α, recordemos que los ángulos de un triángulo suman 180º,
de donde se obtiene que α = 105º (figura 04)
Por dato del problema F// = 400 lb,
reemplazando:
FOA
FOC
400 lb


sen 45 sen 105 sen 30
De aquí se desprenden dos ecuaciones:
FOA
400 lb

sen 45 sen 105
FOC
400 lb

sen 45 sen 30

(1)
(2)

De las ecuaciones (1) y (2) se puede
despejarlas fuerzas que ejercen los
camiones:

Figura 04

FOA  546 lb
FOC  283 lb

Ejercicio 8
Determinar la fuerza resultante del
sistema de fuerzas que actúan sobre la
argolla en el sistema cartesiano
compuesto por las componentes paralelas
y perpendiculares al poste AB.

Figura 01

Solución
Primero ubicamos a la argolla en un
sistema cartesiano juntamente con las
fuerzas que actúan sobre ella, estose
plasma en la figura 02.
Nótese que en la figura 02 para el vector
fuerza F2 se le asignó un ángulo de
inclinación de 71,6º. Esto debido a que
dicho ángulo es parte de un triángulo
rectángulo cuyos catetos opuestos y
adyacentes son 3 y 1 respectivamente.
Entonces ángulo se determinar por
 3
tan 1    71,6º .
1

Figura 02

Del problema se tiene que los módulos de
los vectores F1 , F2 y F3son:

F1  200 lb
F2  500 lb
F3  800 lb
Como nos menciona que se debe establecer
los ejes que sean paralelos y
perpendiculares al poste AB, a este nuevo
sistema lo llamaremos uv. Estos mismos se
establecen en la figura 03, en donde se
muestra las relaciones con los ángulos
originales del sistemas x,y.

Figura 03

Representando las fuerzas todo en función
del nuevo sistema uv, se tiene la figura04.
Figura 04

Para hallar la fuerza resultante, primero se debe descomponer cada vector fuerza en
sus componentes en u e v.

Para F1 :
De la figura 05, se deduce que:

F1  F1cos15º uˆ  F1sen15º vˆ
 200cos15º uˆ  200sen15º vˆ
 193, 2uˆ  51,8vˆ

Figura 05

(1)

Para F2 :
De la figura 06, se deduce que:

F2  F2sen26,6º uˆ  F2 cos26,6º vˆ
 500sen26,6º uˆ  500cos 26,6º vˆ
 223,9uˆ 447,1vˆ
(2)
Para F3 :
De la figura 07, se deduce que:
Figura 06

F3   F3sen65º uˆ  F3cos15º vˆ
 800sen65º uˆ  800cos 65º vˆ
 725uˆ  338,1vˆ

(3)

Para encontrar el vector fuerza resultante
se debe sumar todas las fuerzas que actúan,
en este caso tres:

FR  F1  F2  F3
Reemplazando los vectores encontrados

Figura 07

(1), (2) y (3) en (4) tenemos:
FR  193, 2uˆ  51,8vˆ  

 223,9uˆ 447,1vˆ  
 725uˆ  338,1vˆ 
 193, 2  223,9  725  iˆ 
 51,8+447,1+338,1 ˆj





 308iˆ  837 ˆj lb

(5)

En donde al final se le agregó las
unidades respectivas. La ecuación 5 se
representa en la figura 08.

Figura 08

Ejercicio 9
Una viga corta se somete a tres fuerzas.
Si F  8 kN determinar el valor del
ángulo α que minimice el valor de la
resultante.
Figura 01

Solución

En la...