Soluciones

SOLUCIONES
13.
Se quiere aplicar un test de inteligencia a una población y sabemos, por estudios anteriores, que la desviación típica poblacional es 10. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para poder asegurar, con un nivel de confianza del 95.5%, que la media muestral difiere de la media poblacional en menos de 1? Solución: Como el error máximo admisible es E  1 , la desviación típicapoblacional es   10 , y para 1    0.955 es z  2 , se tiene:
2

102 n  2 2  400 1 Por tanto, la muestra tiene que estar formada por 400 personas.
2

14. En una empresa de exportación de cítricos se investiga el peso medio de cierta variedad de naranjas. Se admite un error máximo de 10 gramos, con una confianza del 95%. Se sabe por estudios anteriores que el peso medio se distribuyenormalmente, siendo la desviación típica de 60 gramos. ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra que se va a elegir? ¿Y si se desea una confianza del 99%?
Solución: El error máximo admitido viene dado por E  Z / 2 de donde deducimos que


n
2

  n   Z / 2  E 
Por tanto:

 1.96  60  1) n     138.30  n  139 cítricos  10 
2

 2.58  60  2) n     239.63  n 240 cítricos  10 
2

Se desea realizar una investigación para estimar el peso medio de los hijos recién nacidos de madres fumadoras. Se admite un error máximo de 50 gramos, con una confianza del 98%. Si por estudios anteriores se sabe que la desviación típica del peso medio de tales recién nacidos es de 400 gramos, ¿qué tamaño mínimo de muestra se necesita en la investigación?
Solución: Parauna confianza del 98%, 1    0.98    0.08  

15.

P Z  z



2

  1    1  0.04  0.96  z 2

n

2

 0.04 . Por tanto



 1.75
2

Como E  Z / 2

y se desea que E  50 , se tendrá:

16 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

400 400  50  1.75  n  14  n  142  n  196  n 50 n El tamaño mínimo de la muestra debe ser 197. 1.75 En unaencuesta se pregunta a 10 000 estudiantes de Bachillerato sobre su consumo de refrescos semanal, encontrándose una media de 5 botes, con una desviación típica de 2 botes. 1) Halla los intervalos de confianza para la media 80% y al 95% de probabilidad. 2) Si aceptamos un error de 0.25 botes para la media de la población, con una fiabilidad de 0.8, ¿a cuántos estudiantes es necesario entrevistar? ¿Ysi queremos un nivel de confianza del 95%? Solución: 1)) Para un nivel de confianza del 80%, z  1.28 , y para el 95%, z  1.96 . Por tanto, los
2 2

16.

respectivos intervalos son: 2 2   , 5  1.28  5  1.28    4.9744 , 5.0256  10000 10000   y 2 2   , 5  1.96  5  1.96    4.9608 , 5.0392  10000 10000   Hay que observar que al ser una muestra tan grande, los intervalosson muy precisos. 2)) El tamaño mínimo de la muestra viene dado por:

  n   Z / 2  E 
Para E  0.25 y z  1.28 ,
2 2

2

2   n  1.28   104.86 0.25   luego habrá que entrevistar a 105 estudiantes. Para el 95% y z  1.96 ,
2

2   n  1.96   245.86 0.25   luego habrá que entrevistar a 246 estudiantes.

2

17.

El peso de los usuarios de un gimnasio tiene unamedia desconocida y una desviación típica   5.4 kg. Tomamos una muestra aleatoria de tamaño 100, obteniendo una media de 60 kg. a) Calcula con un nivel de confianza del 95 % el intervalo de confianza para el peso medio de todos los usuarios. b) Interpreta el significado del intervalo obtenido. c) Se realiza la siguiente afirmación: “el peso medio de un usuario de ese gimnasio está comprendidoentre 58,5 y 61.5 kg. ¿Con qué probabilidad esta afirmación es correcta?

Solución: a) El intervalo de confianza para la media es     , X  Z / 2   X  Z / 2  n n 17 Cipri Departamento de Matemáticas

Como 1    95%  z  1.96 , se tiene que:
2

5.4 5.4   , 60  1.96  60  1.96   58.94 , 61.06   100 100  b) El intervalo de confianza es ahora 58.5 , 61.5 , luego 5.4...