Soluciones

7

VECTORES

Página 172 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Multiplica vectores por números
I

Copia en un papel cuadriculado los siguientes vectores:

Representa: a) 2 a
→

;;;;;;; ;;;;;;; ;;;;;;;
→

a

→

c

→

→

d

b

b) 5 b
→

→

c)

1 → c 3

Expresa el vector d como producto de uno de los vectores a , b o c por un número. Designa los vectoresanteriores mediante pares de números. Por ejemplo: → a (2, 3). Repite con pares de números las operaciones que has efectuado anteriormente.
I 1/3 c
→ →

→

→

→

• d = –2,5 b = • a (2, 3)
→ → → →

→

→

–5 → b 2

2a

b (–2, –2) c (3, 0)

5b

→

d (5, 5)
→ →

d = –5/2 b

→

→

• 2 a = 2 (2, 3) = (4, 6) 5b = 5 (–2, –2) = (–10, –10) 1 → 1 c = (3, 0) = (1, 0) 3 3

Unidad7. Vectores

1

Página 173
Suma de vectores
I

Efectúa gráficamente: a) a + c
→ → → →

b) b + c
→

→

→

c) b + a

→

→

d) a + b + c

→

→

→

siendo a, b y c los del ejercicio anterior. Realiza las mismas sumas con pares de números. Por ejemplo:
→ →

a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)

I

a) a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3) b) b + c = (–2, –2) + (3, 0) = (1,–2) c) b + a = (–2, –2) + (2, 3) = (0, 1) d) a + b + c = (2, 3) + (–2, –2) + (3, 0) = (3, 1) a)
→ →

→

→

→ → →

→ →

→

→

c

b)

→

a

b

→ →

b+c

→

c)
→

→ →

a

b+a

→

d)

→

b

→

a

→

→

a+c

→

c

c

b

→

a+b+c

→

→

Combina operaciones
I
→

u

→

v

→

w

Con los vectores u, v y w efectúa lassiguientes operaciones gráficamente y mediante pares de números: a) 2 u + 3 v
→ →

→

→

→

b) – v + 5w

→

→

c) 2 u + 3 v – 4w

→

→

→

¿Cómo designarías al vector resultante de esta última operación?
I

a) 2 u + 3v = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) = (6, 2) + (6, –6) = (12, –4) b) –v + 5 w = –(2, –2) + 5 (3, –1) = (–2, 2) + (15, –5) = (13, –3) c) 2u + 3v – 4w = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) –4 (3, –1) = (6, 2) + (6, –6) + (–12, 4) = (0, 0) Vector nulo: 0
→ → → → → →

→

→

Unidad 7. Vectores

2

a)

2u

→

b)
3v
→

–v

→ → →

5w –v + 5w

→

2u + 3v

→

→

c)

2u

→

3v –4w
→

→

Página 177
1. Si u (–2, 5) y v (1, –4) son las coordenadas de dos vectores respecto de una base, halla las coordenadas respecto de la misma base de: a) 2 u + v→ → → → → →

b) u – v

→

→

c) 3 u +

→

1→ v 3

d) –

1→ → u – 2v 2

a) 2u + v = 2 (–2, 5) + (1, –4) = (–4, 10) + (1, –4) = (–3, 6) b) u – v = (–2, 5) – (1, – 4) = (–2, 5) + (–1, 4) = (–3, 9)
→ →

) ( ) 1 1 –5 11 d) – u – 2v = – (–2, 5) – 2 (1, –4) = (1, + (–2, 8) = (–1, 2 2 2 ) 2 )
c) 3u +
→

1→ 1 1 –4 –17 41 v = 3 (–2, 5) + (1, –4) = (–6, 15) + , = , 3 3 3 3 3 3
→(

→

Página 178
1. Demuestra las propiedades 1, 3, 5 y 8.
→ → → → → → → • Propiedad 1: Si u = 0 ⇒ u · v = u v  cos (u, v ) = → → → = 0 v  cos (u, v ) = → → → = 0 ·  v  cos (u, v ) = 0 → → →

Si v = 0 ⇒ se demuestra de forma análoga
→ → → → → → • Propiedad 3: Si u · v = 0 ⇒ u v cos (u, v ) = 0 → → Como: u ≠ 0 ⇒ u ≠ 0 → → v ≠ 0 ⇒ v ≠ 0 → → → → → →

→

Tiene que sercos (u, v) = 0 ⇒ u, v = 90° ⇒ v ⊥ u
Unidad 7. Vectores

      
→ →

3

→ → → → → → → → → → → → • Propiedad 5: u · v = u v cos (u, v ) = v ucos (v, u) = v · u (*)

(*)

pues cos α = cos (– α)
→ → → → → →

• Propiedad 8: Si B (x, y ) es una base ortonormal → → x ⊥ y → por la propiedad 2: x · y = 0 → → por la propiedad 5: x · y = y · x = 0 Además: x · x =  x  x cos0° =  x  x · 1 = 1
→ → → → → → → → → → → →

y · y =  y  y cos 0° =  y  y · 1 = 1
→ →

→

→

→

→

pues en una base ortogonal  x = 1,  y = 1. 2. Reflexiona sobre lo que significan las propiedades 6 y 7. Pon ejemplos y justifícalos. • Propiedad 6: λ ( u · v ) = λ  u  v cos ( u, v ) = (λ u) · v = λ u  v cos ( u, v ) = = (λ  u)  v cos ( u, v) = = (λ  u)...