Solución Ejercicios Tema 1

BLOQUE I: ÁLGEBRA LINEAL.

TEMA 1
ESPACIO VECTORIAL

EJERCICIOS

Tema 1: Espacio Vectorial
Dados los vectores de ℝ3 𝑢
⃗ = (4, −1, 0) 𝑣 = (2, 1, −3), expresar, si se

Ejercicio 1

puede, los siguientes vectores como combinación lineal de ellos.

a) 𝑤
⃗⃗ = (14,1, −9)
4
2 14
𝐴 = (−1 1
1)
0 −3 −9

det(A)=108≠0 Son LI Ninguno de

ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros
b) 𝑤
⃗⃗= (0,3, −6)
4
𝐴 = (−1
0

2
1
−3

0
3)
−6

det(A)=0  Son LD

Escribimos el tercer vector como combinación lineal de los dos primeros:
4𝑎 + 2𝑏 = 0
⃗⃗ = −𝑢
⃗ + 2𝑣
−𝑎 + 𝑏 = 3 ; b=2 a=-1  𝑤
−3𝑏 = −6
c ) (10,-1,5)
4
𝐴 = (−1
0

2
1
−3

10
−1)
5

det(A)=48≠0 Son LI Ninguno de ellos se

puede escribir como combinación lineal de los otros
Ejercicio 2

Estudiar las dependencia o independencia lineal delos siguientes

vectores de ℝ4 :
a)

(1, 2, 4,0),(2, 4, 8,0),(2,3,0,1)

1 −2 2
4 3 ) = 3  Son
𝑟𝑔𝐴 = rg ( 2
−4 −8 0
0
0 1
b)

(1, 2, 4,0),(2, 4,8,0),(4,8,0,0)

1 2 4
𝑟𝑔𝐴 = rg ( 2 4 8) = 3  Son
−4 8 0
0 0 0

c)

LI

LI

(2,0,3,0),(0,1, 3,0),(1, 2,0,8)

2
𝑟𝑔𝐴 = rg (0
3
0

0
1
1 −2) = 3  Son
−3 0
0
8

Ejercicio 3

De los conjuntos de vectores anteriores extraer el máximo número de

LIvectores linealmente independientes. ¿En algún caso disponemos de un Sistema
Generador de ℝ4 ?

Matematicas Empresariales.
Grado en Administración y Dirección de Empresas (semipresencial). Universidad Rey Juan Carlos

2

Tema 1: Espacio Vectorial
1 −2 2 2 4 2
4 3 4 8 0
𝑟𝑔𝐴 = rg ( 2
−4 −8 0 8 0 3
0
0 1 0 0 0

0
1
−3
0

1
−2 ) = 4  Hay 4
0
8

vectores LI en ℝ4 SG.

Calcular para qué valores delparámetro a los siguientes vectores

Ejercicio 4

forman base de ℝ3
a)

(2, a,1),(a,1,0),(1, 2,0)

2
𝐴 = (a
1
b)

a
1
0

1
2)
0

rg(A)=3  a≠ 1/2. Por tanto si a≠ ½ es Base.

(2, a,1),(a,1, 1),(2, 2,0)

2
𝐴 = (a
1

a
1
−1

2
2)
0

rg(A)=3  a Por tanto es Base

c) En los casos anteriores, ¿es posible obtener un sistema generador añadiendo un
cuarto vector de ℝ3 como combinación lineal de losdisponibles?
- En el caso a) si a=1/2 podemos añadir por ejemplo (0,0,1) y la matriz formada por
los dos primeros vectores y este tercero tendría rango 3.
- En el caso b) ya es SG.
Ejercicio 5

Dado el subespacio vectorial de ℝ4 generado por los vectores,

S  L (1, 2, 4,1),(2, 4, 8, 2),(2,3,1,1)
Determinar:
a)

Dim( S )

1
𝑟𝑔𝐴 = rg ( 2
−4
1

2
4
−8
2

2
3) = 2  Dim(S) =2
1
1

b ) Una base delsubespacio
Basta escoger dos vectores LI, por ejemplo; (1, 2, -4, 1) y (2, 3, 1, 1)
c)

Las ecuaciones paramétricas del subespacio
𝑥 =  + 2µ
𝑦 = 2 + 3µ
𝑧 = −4 + µ
𝑡 =+µ

d ) Las ecuaciones cartesianas del subespacio
Necesitamos 4-dim(S)= 2 ecuaciones no redundantes
x
y
𝑟𝑔 (
z
𝑡

1
2
−4
1

2
3 )=2 
1
1

x
𝑑𝑒𝑡 (y
z

1
2
−4

2
3) = 0
1

14x - 9y –z =0

x
𝑑𝑒𝑡 (y
t

1
2
1

2
3) = 0
1

-x +y -t =0Matematicas Empresariales.
Grado en Administración y Dirección de Empresas (semipresencial). Universidad Rey Juan Carlos

3

Tema 1: Espacio Vectorial
Ejercicio 6

Dado el siguiente subespacio vectorial de ℝ4

x  2y  t  0 



S  ( x, y , z , t ) / 3 x  5 y  z  t  0 

5 x  y  3z  t  0 


Determinar:
a)
1
rg (3
5

Dim( S )
−2
5
1

0 1
1 −1)=3  Las ecuaciones no sonredundantes  Dim(S)=4-3 =1
3 1

b) Las ecuaciones cartesianas del subespacio
Son las del enunciado
c)

Una base del subespacio.

Basta encontrar un vector, solucionando el sistema; (x=-3/11 t, y=4/11 t, z=0, t=t)
Para t=1 tenemos ( -3/11, 4/11, 0, 1)
d ) Las ecuaciones paramétricas del subespacio
3

11
4
𝑦=

11
𝑧=0
𝑡=

𝑥=−

Ejercicio 7

Formamos la matriz con los vectores y estudiamos su rango.

a
0
a

1

1 1

a 0
0 a

a 0

Tomamos el menor formados por las tres primeras filas:
a 1 1

0 a 0  a3  a 2
a 0 a
Para que el menor anterior sea cero a=1 ó a=0. Por tanto en caso que
de la matriz es tres. Podemos deducir que los tres vectores son L.I. si

a  0 y a  1 el rango

a  0 y a 1

Dado que el primer menor es cero si a=0 o a=1, hay que estudiar, en cada caso, el menor
formado...