SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES







MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIDAD VI. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES












6.1 MÉTODO JACOBI
El método Jacobi es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.
1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello seordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como:


Donde x es el vector de incógnitas.
2. Se toma una aproximación para las soluciones y a ésta se le designa por X0.
3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación


Ejemplo:
Partiendo de (x= 1, y = 2) aplique dos iteraciones del método de Jacobi para resolverel sistema:


Solución:


Aplicamos la primera iteración partiendo de x0 = 1.00 y y0= 2.00:


Aplicamos la segunda iteración partiendo de x0= -0.60 Y y0= 0.25:


Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x2 = 0.10 y y1 = −0.15:


Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x3 = 0.26y y3 = 0.025:


Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x4 = 0.190 y y4= 0.065:Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x5 = 0.174 y y5 = 0.0475:


Si uno dispone de una hoja de cálculo como EXCEL es fácil realizar los cálculos anteriores:

Donde:

Si se gráfica las aproximaciones obtenidas en el plano x−y se obtendrá algo como:


CONVERGENCIA Y CONVERGENCIA EN JACOBI
Uno de los principales problemas de los métodos iterativos es la garantía de que el método vaa converger, es decir, va a producir una sucesión de aproximaciones cada vez efectivamente más próximas a la solución.
En el caso del método de Jacobi no existe una condición exacta para la convergencia.
Lo mejor es una condición que garantiza la convergencia, pero en caso de no cumplirse puede o no haberla es la siguiente:
Si la matriz de coeficientes original del sistema de ecuaciones esdiagonalmente dominante, el método de Jacobi seguro converge.
MATRIZ DIAGONALMENTE DOMINANTE
Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cada uno de los renglones, el valor absoluto del elemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos restantes del mismo renglón. A veces la matriz de un sistema de ecuaciones no es diagonalmente dominantepero cuando se cambian el orden de las ecuaciones y las incógnitas el nuevo sistema puede tener matriz de coeficientes diagonalmente dominante.
Ejemplo:
Son matrices diagonalmente dominantes:

Ejemplo
No son matrices diagonalmente dominantes:

ORDEN CONVENIENTE PARA JACOBI

En ciertas ocasiones al aplicar Jacobi la matriz no es diagonalmente dominante y por tanto no existirá garantía deconvergencia. Sin embargo, en algunos casos será posible reordenar las incógnitas en otra manera de forma que la nueva matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante. Esto se puede detectar revisando todos los posibles ordenamientos de las incógnitas y ver cómo es la matriz resultante. Claro que esto conlleva un bueno número de pruebas pues el número posible de ordenamientos en nvariables es(n−1)! pero cuando n es reducido es sencillo.

6.2 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL:
El método de Gauss-Seidel es muy semejante al método de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteración, y no en la siguiente.
Por ejemplo, en el métodode Jacobi se obtiene en el primer cálculo xi+1, pero este valor de x no se utiliza sino hasta la siguiente iteración.
En el método de Gauss-Seidel en lugar de eso se utiliza de xi+1 en lugar de xi en forma inmediata para calcular el valor de yi+1 de igual manera procede con las siguientes variables; siempre se utilizan las variables recien calculadas.
Ejemplo
Partiendo de (x = 1, y = 2)...