Solución Numerica Del Modelo De Black Scholes

´ ´ ´ SOLUCI ON NUM ERICA DE LA ECUACI ON DIFERENCIAL DE BLACK- SCHOLES, POR DIFERENCIAS FINITAS, HACIENDO USO DE SCILAB
Luis Fernando Plaza Galvez†
†

Facultad de Ingenier´a, UNIDAD CENTRAL DEL VALLE DEL CAUCA, Tulu´ , Colombia, lplaza@uceva.edu.co ı a

Resumen: Por medio de este trabajo, se encuentra una soluci´ n num´ rica a la ecuaci´ n diferencial parcial de Blacko e o
Scholes, quemodela el comportamiento del valor de una Opci´ n europea, haciendo uso del m´ todo de diferencias o e finitas e implementando algoritmos en software libre como es el caso de SCILAB, as´ como el respectivo error. ı

Palabras clave: Black- Scholes, Diferencias finitas, Opci´ n, Scilab. o
2000 AMS Subject Classification: 35K05 - 65M06

1.
1.1.

´ I NTRODUCCI ON
´ O PCI ON F INANCIERA

Unaopci´ n, es un contrato para obtener cobertura de riesgo sobre el valor que tendr´ n los activos sobre o a los que se contrata, el cual le da el tenedor o comprador el derecho, m´ s no la obligaci´ n, de comprar o de a o vender alguna acci´ n o valor en una fecha predeterminada (o antes) y a un precio preestablecido [1, p. 6]. o Las hay de tipo Call y Put. Dichos trabajos fueron expuestos por FisherBlack y Myron Scholes en [2]. 1.2. ´ E CUACI ON DIFERENCIAL DEL MODELO B LACK -S CHOLES

Se desea encontrar una funci´ n V (S, t), V = S × [0, T ] → R, con S ∈ R+ ≡ [0, +∞), la cual resuelve o la ecuaci´ n diferencial parcial presentada en (1), con la condici´ n (2): o o 1 Vt + rSVS + σ 2 S 2 VSS − rV = 0. 2 V (S, T ) = f (S) = max {E − S, 0}, (1) (2)

Dicha soluci´ n es el valor de una opci´ neuropea tipo Put, donde E (precio Strike), r (tasa libre de riesgo) o o y σ (volatilidad del precio) son constantes conocidas.

2.

´ D ISCRETIZACI ON DEL MODELO B LACK - S CHOLES EN ESPACIO Y TIEMPO

Este tipo de ecuaciones ha sido estudiada entre otros por [3], teniendo en cuenta soluciones en base radial. Inicialmente se reemplazar´ (1) en el punto S = S0 , t = t0 , por una aproximaci´ nbasada en diferencias a o finitas deducida de la expansi´ n en una f´ rmula de Taylor [4]. o o Para Vt se aplica diferencia progresiva en el tiempo, donde t0 ≤ η1 ≤ t0 + ∆t.
Vt (S0 , t0 ) = V (S0 , t0 + ∆t) − V (S0 , t0 ) ∆t ∂ 2 V − (S0 , η1 ), ∆t 2 ∂t2 (3)

Para las derivadas con respecto a S, se introduce el esquema de diferencias centradas, donde S0 ≤ ξ1 ≤ S0 + ∆S,as´: ı
VS (S0 , t0 ) = VSS(S0 , t0 ) = V (S0 + ∆S, t0 ) − V (S0 − ∆S, t0 ) (∆S)2 ∂ 3 V − (ξ1 , t0 ), 2∆S 6 ∂S 3 (4) (5)

V (S0 + ∆S, t0 ) − 2V (S0 , t0 ) + V (S0 − ∆S, t0 ) (∆S)2 ∂ 4 V − (ξ1 , t0 ), (∆S)2 12 ∂S 4

Ahora se realizan los siguientes cambios para la aproximaci´ n del punto (S0 , t0 ), por el nodo (j, n): o
V (S0 , t0 ) Vj,n ; V (S0 + ∆S, t0 ) Vj+1,n ; V (S0 − ∆S, t0 ) Vj−1,n ; V (S0 , t0 + ∆t) Vj,n+1 .1

Para tal prop´ sito se define ∆S = h = Smax , y se consideran M + 1 precios iguales de activo. Se define o M T ∆t = k = N , y se consideran N + 1 tiempos iguales (ver figura 1), la cual consta de (M + 1) × (N + 1) puntos en la red donde n ∈ [0, N ] y j ∈ [0, M ]. As´ el espacio de estado es S × [0, T ], aproximandose a: ı
{0, ∆S, 2∆S, ...j∆S... M ∆S} × {0, ∆T, 2∆T, ...n∆T... N ∆T },

Elpunto (j, n) en la grilla, es el punto que corresponde al precio del activo j∆S y al tiempo n∆T . Usaremos la variable Vj,n para denotar el valor de la opci´ n en el punto (j, n). Ahora al reemplazar (3 - 5) en la o

Figura 1: Grilla

ecuaci´ n diferencial (1) y teniendo en cuenta las aproximaciones antes expuestas, se obtiene la ecuaci´ n en o o diferencias finitas m´ todo implcito al nodo (j,n), para 0 < j < M y 0 ≤ n < N , llegando a: e
V (S0 , t0 + ∆t) − V (S0 , t0 ) V (S0 + ∆S, t0 ) − V (S0 − ∆S, t0 ) + rS + ∆t 2∆S σ 2 S 2 V (S0 + ∆S, t0 ) − 2V (S0 , t0 ) + V (S0 − ∆S, t0 ) − rV (S0 , t0 ) − ET = 0, 2 (∆S)2

donde ET representa el error de truncamiento, dado de la siguiente manera:
ET = ∆t ∂ 2 V (∆S)2 ∂ 3 V σ 2 S 2 (∆S)2 ∂ 4 V (S0 , η1 ) + rS (ξ1 , t0 ) + (ξ1 , t0 ). 2 ∂t2 6...