SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES SUBTEMA 3.1 MÉTODOS DE BISECCIÓN. PUNTO FIJO Y NEWTON-RAPHSON. INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS Y CRITERIOS DE CONVERGENCIA





SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES SUBTEMA 3.1 MÉTODOS DE BISECCIÓN. PUNTO FIJO Y NEWTON-RAPHSON.
INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS Y CRITERIOS DE CONVERGENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.


















Introducción.
En la práctica una gran cantidad de funciones que tienen que ver con problemas en Ingeniería no se pueden resolver por los métodos tradicionales que seven en matemáticas y cuando la solución analítica es muy complicada, surge el momento de emplear métodos numéricos para su solución. Se requieren que las funciones sean diferenciables y por lo tanto continuas en un intervalo donde se aplican los métodos numéricos.
Una técnica en que nos apoyamos, es el método gráfico el cual nos sirve para obtener una aproximación a la raíz de una función f(x)= 0, consiste en graficar la función y observar en donde cruza el eje X, Este punto, que representa el valor de X para el cual f(X) = 0, proporciona una aproximación inicial de la raíz.
Ejemplo la función que se resolverá por los diferentes métodos es:
F(x) = e –X - x
Se tabula desde el valor desde cero hasta uno, con incrementos de 0.2 obteniéndose:



0.6-0.051
0.8
-0.351
1.0
-0.632

Como se observa en el intervalo de 0.4 y 0.6 hay un cambio de signo, lo cual nos indica que hay una raíz, estos puntos se muestran en la gráfica siguiente. La curva resultante cruza al eje X entre 0.5 y 0.6
Por observación se puede decir que la raíz es 0.57, para poderla determinar exactamente se utilizan los diferentes métodos que se expondrán a continuación.Figura #1. Método gráfico para la solución de ecuaciones algebraicas y trascendentes. Representación de F(X) = e –X - X contra el eje de las X. La raíz corresponde al valor de X donde f(X) = 0, esto es, el punto donde la función cruza el eje X. Una inspección visual de la gráfica muestra un valor aproximado de 0.57.



Método de Bisección
El Método de Bisección, conocidotambién como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método de Bolzano, es un método de búsqueda incremental donde el intervalo se divide siempre en dos. En general, si f(X) es real y continua en el intervalo de X1 a X2 y F(X1) y F(X2) tiene signos opuestos, esto es si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posiciónde la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.
Donde el primer punto es X1, y el segundo X2
Y el punto medio es: Xm = X1 + X2
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Figura 2. Gráfica de una función por el Método de Bisección en los ejes F(X) y X se determinan los puntosiníciales donde la función cambia de signo.
Uno de los primeros pasos será verificar si el método de Bisección converge. Esto se puede verificar asegurándose de que al sustituir el valor de X1 y X2 en la función y multiplicarlo sea menor que cero “f(X1)f(X2) < 0” por lo cual podemos proseguir con el Método de Bisección.
Al tener el valor de Xm se sustituye en la función y dependiendo delvalor de la multiplicación de X1 sustituida en la función f(X1) por Xm también sustituida en la función f(Xm) se obtiene que: Si el producto es menor que cero; entonces la raíz se encuentra dentro del primer subintervalo.
Por lo tanto, resuélvase X2 = Xm
Si el producto es mayor que cero; entonces la raíz se encuentra dentro del segundo subintervalo.
Por lo tanto, resuélvase (X1) = (Xm)
Si elproducto es igual a cero; Entonces la raíz es igual a Xm y se terminan los cálculos.
El criterio de terminación del Método de Bisección se puede generalizar de acuerdo a los siguientes pasos:
Si f(X1 )f(X2) > 0 se termina el proceso;
Si Xm = 0 se encontró la raíz y se termina el proceso.
Se estipula el error de aproximación de nuestra raíz con Es, como el error de aproximación se...