SOS lgebra y geometr a anal tica Parte hellip

CAPÍTULO 5
TRANSFORMACIONES LINEALES

ÁLGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA
TRANSFORMACIONES LINEALES
Cap 5

TRANSFORMACIONES LINEALES
Definición:
Sean (V,+, R,i) y (W,+,R,i) dos espacios vectoriales reales.
Una

transformación lineal T : V → W es una función que asigna a cada vector

x ∈ V un vector único T (x) ∈ W y que satisface:

1 - ∀x, ∀y ∈ V : T(x + y) = T(x) + T(y)
2 - ∀α ∈ R : T(α.x) = α.T(x)Propiedades

Sea T : V → W una transformación lineal
1

La imagen del vector nulo del primer espacio es el vector nulo del segundo
espacio. Simbólicamente: T(0V ) = 0W

Demostración
T(0V ) = T(0.x) = 0.T(x) = 0W

2 T(−x) = − T(x)

Demostración
T(−x) = T((−1).x) = (−1).T(x) = − T(x)
3. T(x − y) = T(x) − T(y)

Demostración
T(x − y) = T(x + (−y)) = T(x) + T(−y) = T(x) − T(y)

4. Las transformacioneslineales preservan las combinaciones lineales.

Simbólicamente,
T(α.x + β.y) = α.T(x) + β.T(y)

Bonamusa, Adriana - del Puerto, Norma - Lucotti, María del C.

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TRANSFORMACIONES LINEALES
Cap 5
Transformaciones especiales

1 - Transformación nula:
T : V → W / T(x) = 0W

2 - Transformación identidad:
Id : V → V / Id (x) = x

Ejercicio 1
Analice si las siguientestransformaciones son lineales.
a) T : R 2 → R 3 / T(x;y) = (x + y;2x + 2y;0)
b) T : R 3 → R 3 / T(x;y;z) = (x + y;z;x + 1)

(

c) T : R 3 → R 3 / T(x;y;z) = x2 ;ky;z

d) T : R2x2 → R2x2 / T(A) = A + A

)

t

e) T : P3 → R2 / T(a3 x3 + a2 x2 + a1x + a0 ) = (a3 + a2 ;a0 - a1 )

a) Siendo T : R 2 → R 3 / T(x;y) = (x + y;2x + 2y;0) analizamos las condiciones:
T ⎡⎣( x;y ) + ( x′;y′ ) ⎤⎦ = T ( x + x′;y+ y′) = ( x+x'+y+y′;2 ( x+x′ )+2( y+y′ ) ;0 ) =

= ( x+y; 2x+2y; 0 ) + ( x′+y′; 2x′+2y′; 0 ) = T ( x;y ) + T ( x′;y′ )
T ⎣⎡α (x;y)⎦⎤ = T(α x;α y) = ( α x + α y; 2α x + 2α y ; 0) = α ( x + y; 2x +2y; 0 ) = α .T(x;y)

Como cumple las dos condiciones es una transformación lineal.

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Bonamusa, Adriana - del Puerto, Norma - Lucotti, María del C.

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TRANSFORMACIONESLINEALES
Cap 5

b) Siendo T : R 3 → R 3 / T(x;y;z) = (x + y;z;x + 1) vemos que no es transformación
lineal pues T ( 0;0;0 ) = ( 0;0;1)

(

c) Siendo T : R 3 → R 3 / T(x;y;z) = x2 ;ky;z

)

vemos que T ( 0;0;0 ) = ( 0;0;0 ) , sin

embargo, no es transformación lineal pues T (2;1;3) + T (3;0;1) ≠ T (5;1;4 )
d) Siendo T : R2x2 → R2x2 / T(A) = A + A

t

Analizamos las condiciones:
T(A + B) = (A + B) + (A + B)t = A + B + A t + B t = (A + A

t

)

+ (B + B t ) = T(A) + T(B)

T(α.A) = (α.A) + (α.A) t = α.(A + A t ) = α.T(A)

Con lo cual queda demostrado que es una transformación lineal.
e) Siendo T : P3 → R2 / T(a3 x3 + a2 x2 + a1x + a0 ) = (a3 + a2 ;a0 - a1 )
Analizamos las condiciones:
Sean

P = a3 x3 + a2 x2 + a1x + a0 y Q = b3 x3 + b2 x2 + b1x + b0

T(P + Q) = T((a3 + b3 )x3 + (a2 + b2 )x2 + (a1 +b1 )x + (a0 + b0 ))
= ((a3 + b3 ) + (a2 + b2 ),(a0 + b0 ) − (a1 + b1 ))
= (a3 + a2 , a0 − a1 ) + (b3 + b2 , b0 − b1 )
= T(P) + T(Q)

T(α .P) = T(α .a3 x3 + α .a2 x2 + α .a1x + α .a0 )
= (α .a3 + α .a2 , α .a0 − α .a1 )
= α .(a3 + a2 , a0 − a1 )
= α .T(P)

O sea es una transformación lineal.
Bonamusa, Adriana - del Puerto, Norma - Lucotti, María del C.

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Cap 5
Núcleo e imagen de una transformación lineal

Sea T : V → W una transformación lineal
Definición:

El núcleo de T, denotado Nu (T) , esta dado por

{

}

Nu (T) = x ∈ V / T(x) = 0W , es decir : x ∈ Nu (T) ⇔ T(x) = 0W

Propiedades
1 (Nu (T),+, R, i) es un subespacio de ( V,+, R, i)

Probamos la condición suficiente:
i) Nu (T) ⊂ V por definición

( )

ii) T 0V = 0W ⇒ 0V ∈ Nu(T) ⇒ Nu (T) ≠ ∅
iii) ∀x ∈ Nu (T), ∀y ∈ Nu (T) : x + y ∈ Nu (T)
Si x ∈ Nu (T), y ∈ Nu (T) ⇒ T(x) = 0W y T(y) = 0W ⇒ T(x + y) = 0W ⇒ x + y ∈ Nu (T)

iv) ∀α ∈ R, ∀x ∈ Nu (T) : α .x ∈ Nu (T)
Si α ∈R, x∈Nu (T) ⇒ α ∈R y T(x) = 0W ⇒ α .T(x) = 0W ⇒ T(α .x) = 0W ⇒ α .x ∈ Nu (T)

Luego Nu (T) es subespacio de (V,+, R,i)
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Bonamusa, Adriana - del Puerto, Norma - Lucotti, María del C.

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