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1.1 Series e Integrales de Fourier – Ejercicios Resueltos
CÁLCULO III PARA INGENIERÍA

1. Sea

Extendida a

como función de período

.

a) Obtener la serie de Fourier de .
b) Usar (a) para calcular

c) Usar (a) para calcular

1) a) SOLUCIÓN: Vemos que la función
es impar, debido a que cumple
, para
el intervalo
. Como
es impar, entonces los coeficientes de Fourier de la seriese
calcula de la siguiente manera:

Tenemos que:

Usando ésta fórmula tenemos que:

1

J.A.L.P

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CÁLCULO III PARA INGENIERÍA

Pero

, entonces:

Ahora analizaremos los valores que tomara el coeficiente de Fourier
, y si
Para

es impar, entonces

. Si

es par, entonces

.

, tenemos que el coeficiente:

Portanto la serie de Fourier para la función

es:

b) SOLUCIÓN: Como la función
es seccionalmente continua (continua por tramos), se podrá
usar el teorema de convergencia puntual el cual nuestro punto
, converge la serie de
Fourier a la función
. Por teorema de convergencia puntual, nuestro punto escogido es:

Como en ese punto, la función es continua, entonces la serie de Fourier en esepunto converge a:

2

J.A.L.P

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c) SOLUCIÓN: Usando la identidad de Parseval tenemos que:

Pero como

es impar, entonces la identidad sería:

Por tanto la serie converge a:

3

J.A.L.P

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2. Para

,periódica de período 4

a) Obtener su serie de Fourier en cosenos
b) Del resultado, determinar la convergencia de

2) a) SOLUCIÓN: Primero tenemos que definir la función por tramos, ya que
parte entera del número , por tanto:

representa la

Como nos pide la serie de Fourier en cosenos, hay que aplicar la extensión par de la función de
periodo
. Y como es par (la extensión), solamente hayque calcular los coeficientes:

Entonces:

4

J.A.L.P

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CÁLCULO III PARA INGENIERÍA

Si

es par, entonces

y si

es impar, entonces

Por tanto, la serie de Fourier de cosenos para la función dada es:

b) SOLUCIÓN: Como la función es seccionalmente continua (continua por tramos), entonces
existe un
, tal que la serie deFourier de cosenos converge a la función
, en el punto
escogido. Entonces, por teorema de convergencia puntual, escogeremos el punto
(Presenta un punto de continuidad), lo que satisface lo siguiente:

Por tanto, la serie converge a:

5

J.A.L.P

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3. Sea

, si –

, entonces:

a) Determine laSerie de Fourier de esta función
b) Pruebe la convergencia de la serie:

3) a) SOLUCIÓN: Primero analizaremos si la función es par o impar. Vemos que la función es
par, ya que cumple
, por tanto, los coeficientes de Fourier a calcular son:

Entonces:

Primero calcularemos la primitiva

Usando el método de integración por partes. Sean:

Pero por formulario:

Por tanto:

6J.A.L.P

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CÁLCULO III PARA INGENIERÍA

Ahora, el coeficiente:

Ahora calcularemos el coeficiente, pero para

Por tanto, la serie de Fourier para la función dada es:

b) SOLUCIÓN: Como la función es seccionalmente continua, existe un punto
, tal
que la serie de Fourier en ese mismo punto, converge a la función evaluada en ese punto.Entonces nuestro punto a estudiar es
(presenta un punto de continuidad). Por teorema de
convergencia puntual, la serie converge a
, es decir:

7

J.A.L.P

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CÁLCULO III PARA INGENIERÍA

Por tanto, la serie que hemos estudiado converge a:

4. Sea

definida por:

.

a) Encontrar una función par
periódica, tal que...