Spline

Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Matemática Profesor: Gonzalo Hernández Auxiliar: Gonzalo Ríos Fecha: 17 de Abril

Semestre Otoño 2007 Cálculo Numérico MA33A-02

Auxiliar 6: Interpolación Mediante Spline Cúbicos
Resumen Materia
1. Spline Cúbica: S(x) = {Sk (x) x ∈ [xk , xk+1 ] k ∈ {0..n − 1}} donde: Sk (x) = ak + bk (x − xk ) + ck (x− xk )2 + dk (x − xk )3 y verifica: (a) i. Interpole: Sk (xk ) = yk ii. Continua: Sk−1 (xk ) = Sk (xk ) 0 0 iii. 1◦ Derivada Continua: Sk−1 (xk ) = Sk (xk ) iv. 2◦ Derivada Continua: Sk−1 (xk ) = Sk (xk )
00 00

n+1 restricciones n-1 restricciones n-1 restricciones n-1 restricciones

2. Condiciones de Borde: Son 4n incógnitas y 4n-2 restricciones + 2 condiciones de borde (a) (b) (c) (d)Spline Spline Spline Spline Natural: S (x0 ) = 0, S (xn ) = 0 00 00 00 00 Extremos Constantes: S (x0 ) = S (x1 ), S (xn ) = S (xn−1 ) 00 00 Valor Fijo: S (x0 ) = α, S (xn ) = β 0 0 0 0 Sujeta: S (x0 ) = f (x0 ), S (xn ) = f (xn )
00 00 00

−a 3. Construcción de la Spline: se define ck = S (xk ) , hk = xk+1 − xk , λk = ak+1k k , μk = 3 (λk − λk−1 ) y se resuelve 2 h el sistema matricial de n+1incógnitas ⎤⎡ c ⎤ ⎡ μ ⎤ ⎡ 0 0 Fila condición de borde en x0 ⎢h0 2 (h0 + h1 ) h1 0 ... ... ... 0 ⎥ ⎢ c1 ⎥ ⎢ μ1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎢0 h1 2 (h1 + h2 ) h2 0 ... ... 0 ⎥ ⎢ c2 ⎥ ⎢ μ2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 h2 2 (h2 + h3 ) h3 0 ... 0 ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥ ⎢ ⎢. . . . . . ⎥⎢ . ⎥ = ⎢ . ⎥ . . . . ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢. 0 0 . . . ... . ⎥⎢ . . ⎢ ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢. . . . . . . . . . . ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢. . . . . . ... 0 ⎥⎢ . ⎥⎢ . ⎥ ⎢. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 0 ... hn−2 2 (hn−2 + hn−1 ) hn−1 ⎦ ⎣cn−1 ⎦ ⎣μ ⎦ n−1 Fila condición de borde en xn cn μ n

Los otros coeficientes de la spline se obtienen de las ecuaciones: ak = yk bk =

ak+1 − ak hk (2ck + ck+1 ) − hk 3

dk =

ck+1 − ck 3hk

Problemas
1) Determine la spline sujeta de la función f (x) = cos(πx) en los puntos equiespaciados: x0 = 0, x1 = 3 4 , x4 = 1. Solución:
√ √1 4 , x2

=

1 2 , x3

=

y0 = cos(0) = 1, y1 = cos( π ) = 22 , y2 = cos( π ) = 0, y3 = cos( 3π ) = − 22 , y4 = cos(π) = −1. Primero se necesita 4 2 4 calcular h0 , h1 , h2 , h3 y a0, a1 , a2 , a3 , a4 . Como los puntos son equiespaciados: h0 = h1 = h2 = h3 = 1 . Los ak se √ √ 4 determinan están dados por: ak = f (xk ) ∀k = 0, 1, ..., 4. Luego: a0 = 1, a1 = 22 , a2 = 0, a3 = − 22 , a4 =−1. El sistema de la spline sujeta es: ⎤ ⎡ 3(a −a ) 1 0 ⎡ ⎤⎡ ⎤ − 3f 0 (x0 ) h0 c0 2h0 h0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎢ h0 2(h0 + h1 ) ⎥ ⎢ c1 ⎥ ⎢ 3(a2 −a1 ) − 3(a1 −a0 ) ⎥ h1 0 0 h1 h0 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 3(a3 −a2 ) 3(a2 −a1 ) ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ c2 ⎥ = ⎢ h1 2(h1 + h2 ) h2 0 − ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ h2 h1 ⎣ 0 ⎦ ⎣ cn−1 ⎦ ⎢ 3(a4 −a3 ) − 3(a3 −a2 ) ⎥ 0 hn−2 2(hn−2 + hn−1 ) hn−1 ⎦ ⎣ h3 h2 0 0 0 hn−1 2hn−1 cn 3f 0 (xn ) − 3(a4 −a3 ) h3

Reemplazandolos valores: ⎡

Cuya solución es:

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 0

1 2 1 4

1 0 0
1 4

1 4

0 1 0
1 4 1 4

0 0 1
1 4 1 4

0 0 0
1 4 1 2

⎤⎡ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

c0 c1 c2 c3 c4 c0 c1 c2 c3 c4

⎤

⎤

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎢ ⎣ ⎡

⎡

12( 22 − 1) √ 12(1 − 2) 0 √ −12(1 − 2) √ −12( 22 − 1) −5. 193 3 −3. 672 2 0 3. 672 2 5. 193 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

√

⎤

⎡ −3. 514 7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −4. 970 6⎥ ⎢ 0 ⎥=⎢ ⎥ ⎣ 4. 970 6 ⎦ 3. 514 7

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Finalmente se tienen que determinar los bk y dk . Para ello se utilizan las ecuaciones: bk dk Luego: ⎡ = (ak+1 − ak ) = 1 hk − (ck+1 + 2ck ) hk 3 ∀k = 0, ..., n − 1

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

1 (ck+1 − ck ) ∀k = 0, ..., n − 1 3hk ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

2) En los últimos años, el precio de la bencina en Chile a tenido fuertes alzas. A continuación se muestranalgunos datos sobre el precio de la bencina 95 octanos desde Diciembre del 2004 hasta Agosto del 2006: F echa 15/12/04 27/01/05 22/03/05 09/05/05 13/06/05 18/08/05 P esos/Litro 488 508 553 564 543 576 F echa 15/09/05 08/10/05 04/11/05 12/01/06 29/04/06 15/06/06 P esos/Litro 619 628 587 566 636 668 A partir de los datos, en función de los días transcurridos desde el 15/12/04 construya la...