Splines métodos numéricos

Para los vectores:
x=[1;3;5;8;15;20]
y=[3;2;9;13;5;19]
Parte 1: Análisis de Splines Cúbicos

Ciclo for que va de la línea 4 a la 13.
Establece la primera condición para crear el spline, fi(xi)=yi , y ordena una matriz Atemporal con los valores del vector x en las variables xi0 , xi1, xi2, xi3 ordenándolo diagonalmente de forma que cada bloque sea (2x4) hasta que el total de bloques sean- 1, los espacios vacíos se llenan con ceros para que la matriz A sea de tamaño ((2n- 2)x(4n-4)).
Ciclo for que va de la línea 15 a la 22.
Siguiendo la condición f’i(xi) = f’i+1(xi) ordena en la matriz B los valores del vector “x” en las derivadas variables xi0 , xi1, xi2, xi3 ,creando bloques de (1x8) hasta que el total de bloques sea n-2, estos quedan ordenados en el renglón siguiente, ypara las columnas que dejen una cantidad de ceros esta sale de multiplicar el número del bloque por 2, pero esto solo aplica del bloque 2 en adelante.
Asignación de la línea 23.
A la matriz Atemporal se le agrega la matriz B, quedando una nueva matriz A donde se combinan las 2, A=[Atemporal, B].
Ciclo for que va de la línea 25 a la 30.
Siguiendo la condición f’’i(xi) = f’’i+1(xi) el cicloacomoda en la matriz B los valores del vector “x” en las derivadas de segundo orden variables xi0 , xi1, xi2, xi3 creando bloques de (1x8) hasta que el total de bloques sea n-2, estos quedan ordenados en el renglón siguiente, y para las columnas que dejen una cantidad de ceros esta sale de multiplicar el número del bloque por 2.
Cuatro asignaciones de la línea 33 a la 36.
Aquí se aplica la condiciónf ’’’i(xi) = f ’’’i+1(xi) de pero como la tercera derivada va a ser 6 entonces en la matriz B se acomodan directamente los valores la matriz B queda como [0,0,0,6,0,0,0,-6,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,6,0,0,0,-6]
Ciclo for de la línea 48 a la 31.
El ciclo for evalúa (desde i=1hasta el n numero de datos del vector ”x” menos 1) el vector “y” en yi , yi+1 dando una matriz de (4(n-1)x1).
Asignación de lalínea 42.
La asignación da valores de las incógnitas que son desde a0, a1,..., an, que se necesitan para hacer el polinomio final de los vectores dados en “x” y “y”.
Ciclo for de la línea 43 a la 48.
Este ciclo verifica si la condición del if se cumple, procede a realizar las operaciones del polinomio, rompe el proceso y da un resultado, pero si no cumple la condición inicia un nuevo ciclodel for.
Parte 2: Modificación de código para diferentes splines
1.Natural : para hacer el spline con la opción “natural” modifique las líneas de código que van de la línea 33 a la 36, agregando una línea de código, como se muestra en la imagen. Esto está dado según la igualdad de 𝑓 ́ ́1(𝑥1)=0 y 𝑓 ́ ́𝑖−1(𝑥𝑖), por lo tanto
𝑓 ́ ́1(𝑥1)=0 es igual a 3𝑎2 +𝑏2 y 𝑓 ́ ́𝑖−1(𝑥𝑖) es igual a 6𝑏2+𝑏2. Caberesaltar que esta parte es la última de la construcción de la matriz.
//natural:
B(1,1)=-3

B(1,2)=-1
B(2,4*length(x)-8)=12
B(2,4*length(x)-7)=1
B(2,4*length(x)-4)=0

Periodic: para hacer el spline con la opción “periodic” modifique las líneas de código que van de la línea 33 a la 36, agregando unas líneas de código, como se muetra en la imagen. Esto está dado por 𝑓 ́1(𝑥1)=𝑓 ́𝑖(𝑥𝑖) que esequivalente a decir 3𝑥1𝑎2+
𝑥1𝑏2+1=3𝑥𝑖𝑎2+𝑥𝑖𝑏2+1 y también está dado por 𝑓 ́ ́1(𝑥1)=𝑓 ́ ́𝑖(𝑥𝑖) que es equivalente a decir 6𝑥1𝑏2 + 𝑥1 𝑏2+1=6𝑥𝑖𝑏2+𝑥𝑖𝑏2+1. Cabe resaltar que esta parte es la última de la construcción de la matriz.

//periodic:
B(1,1)=1
B(1,3)=2*x(1)
B(1,4)=3*x(1)
B(1,6)=-1
B(1,7)=-2*x(length(x))
B(1,8)=-2*x(length(x))
B(1,4*length(x)-4)=0
B(2,3)=2 B(2,4)=6*x(1)B(2,7)=-2 B(2,8)=6*x(length(x))
B(2,4*length(x)-4)=0

Clamped: para hacer el spline con la opción “clamped” modifique las líneas de código que van de la linea 33 a la 36, agregando unas líneas de código, como se muestra en la imagen. Esto está dado por f ́1(x1)=C y f ́i(xi)=C donde C es un valor que se le quiera dar a la derivada que en mi caso fue 1 por lo tanto 3x1a2+x1b2+1=1 y 3xia2+xib2+1=1...