Splines

SPLINES

La interpolación polinomial tiene el inconveniente de que el polinomio interpolador puede oscilar fuertemente entre los puntos interpolados, como hemos visto en el apartado anterior. Paramuchas aplicaciones prácticas interesa un algoritmo que proporcione una función interpoladora que se comporte suavemente. El modelo más sencillo es una interpolación lineal a tramos, constituida porrectas que unen los puntos interpolados. Sin embargo, este tipo de aproximación tiene una derivada discontinua en lo puntos de interpolación. Para muchas aplicaciones prácticas, en las que se incluyenla resolución de ecuaciones diferenciales en las que intervienen funciones medidas experimentalmente, interesa una función aproximadora que tenga derivadas continuas hasta un orden dado, aparte de sercontinua. El método de splines se basa en encontrar funciones que cumplan estas características. Se define un spline de orden m en una serie de n+1 puntos de interpolación {(x0,y0), . . . (xn,yn)}como un conjunto de n funciones Sk(x) (frecuentemente polinomios de orden m) definidas en el intervalo [xk,xk+1] , que satisfacen

Como veremos más abajo, hay que introducir en general condiciones decontorno adicionales en los extremos x0 y xn para que las funciones Sk(x) estén unívocamente definidas. Los splines más utilizados son los cúbicos, debido a que son los más sencillos con derivadasegunda continua, y por lo tanto son adecuados para aproximar funciones que intervienen en ecuaciones diferenciales
de segundo orden. Si escribimos

las dos primeras derivadas vienen dadas por

Lacondición de que los splines pasen por los puntos de interpolación da Sk(xk)=ak =yk, que nos dice que los coeficientes ak son los valores de la función interpolada en los nodos. El significado de losotros coeficientes es obviamente S%k (xk) = bk, S%%(xk) = 2ck y S%%%(xk) = 6dk. Tenemos que las ecuaciones de continuidad de las funciones Sk(x) y sus derivadas primera y segunda en los n−1 puntos de...