splines

Ing Yamil Armando Cerquera Rojas
yacerque@gmail.com

INTERPOLACIÓN CON TRAZADORES O SPLINES

SPLINES CÚBICOS
DEFINICIÓN
FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1
FUNCIONES SPLINES DE GRADO 2
FUNCIONES SPLINES CUBICOS
Ejemplo Spline Cúbico
Un caso particular
El caso general
Solución Con MatLab
Ejercicios

Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas
Especialista en Sistemas U. Nacional de ColombiaDocente Universidad Surcolombiana

TRAZADORES CÙBICOS: SPLINES CÙBICOS
Este tipo de interpolación que ha demostrado poseer una gran finura y que inclusive es
usado para el diseño asistido por computadora, por ejemplo, de tipos de letra.
Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La
idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar todoslos datos, se
pueden usar segmentos de polinomios entre pares coordenados de datos y unir cada uno de
ellos adecuadamente para ajustar los datos.
Vale la pena resaltar que entre todas las formas de ajustar datos, los splines cúbicos han
resultado ser los más adecuados para cualquier tipo de aplicación.
Así pues, se puede decir de manera informal, que una función spline está formada por
variospolinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas
condiciones de continuidad.
Para un conjunto numeroso de puntos no es muy útil calcular el polinomio interpolante que
pasa por estos puntos, pues éste tiende a tener grandes oscilaciones. Más aconsejable es
hacer una interpolación secuencial de grado bajo sobre subconjuntos más pequeños del
total de puntos,definiendo así una función a trozos.
La interpolación a trozos más útil y de uso generalizado en diversos campos tales como el
diseño, los gráficos por computadora, la economía, etc., es la que se realiza mediante
polinomios de grado tres llamados trazadores o splines cúbicos que se definen en cada uno
de los sub intervalos ( x k , x k +1 ) definidos por las abscisas de los puntos ( xi , y i ) ainterpolar.
La idea es construir estos polinomios cúbicos de tal forma que cualesquiera dos de ellos
definidos en intervalos contiguos ( xk −1 , xk ) y ( x k , x k +1 ) , ambos coincidan en xk no solo
como función sino también en su primera y segunda derivada, con el fin de que haya
suavidad en los puntos (xk,yk) de coincidencia de ambas gráficas.
En cada sub intervalo (xi-1,xi).
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• s(x) tiene derivada continua hasta de orden k-1 en (xo,xn).
FUNCIONES SPLINES DE GRADO 0
Los splines de grado 0 son funciones constantes por zonas. Una forma explícita de presentar
un spline de grado 0 es la siguiente:

 S 0 ( x) = c 0 ....x ∈ (t 0 , t1 ) 
 S ( x) = c ....x ∈(t , t ) 


1
1
2
S ( x) =  1

....


S n −1 ( x) = c n −1 ....x ∈ (t n −1 , t n )


Los intervalos (ti-1,ti) ó (xi-1,xi) no se intersectan entre sí, por lo que no hay ambigüedad
en la definición de la función en los nodos.

Figura 1: Spline de grado 0 con seis puntos.

FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1
Los splines de grado 1 son funciones polinomiales de grado 1 (Rectasde la forma f(x)=ax+b)
que se encargan de unir cada par de coordenadas mediante una recta.
Dados los n+1 puntos:

x x0 x1 x2 ..... xn
y y0 y1 y2 .... yn
Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los
puntos (Par coordenados) mediante segmentos de recta, como se ilustra en las siguientes
figuras:

Fig 2

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Fig 3: Spline de grado 1 con 6 puntos

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Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, se tiene
que para este caso:

 S 0 ( x) = a0 x + b0 ....x ∈ (t 0 , t1 ) 
 S ( x) = a x + b ....x ∈ (t , t ) 


1
1
1
1 2
S ( x) = 

....


S n−1 ( x) = an −1 x + bn...