Splines

AIM Quiz

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Interpolación y Aproximación
Question 1

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Dada la siguiente tabla de valores de la función f(x) = sin( x ) cos( x )tomados en el intervalo [−1,1] , encontrar el spline cúbico natural s(x) que
interpola en dichos valores, y obtener el valor por interpolación en x=−0.9 con cuatro decimales exactos, indicandotambién los coeficientes del
polinomio q 0(x) usado para interpolar en el punto pedido.
xk

-1

0

1

yk -.454649 0. .454649

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The teacher's answer was:

 −0.455 0.455 0 0.0 −0.409 



Solution:
Dados los n+1 puntos (x0,y0), (x1,y1),...,(xn,yn), en los que las abscisas se suponen ordenadas, o sea:
x0 < x1 < ... < xn−1 < xn
sabemosque para obtener el spline cúbico natural s(x) que interpola en dichos puntos, hemos de obtener n polinomios qk (x), k=0,1,...,n−1 que
constituyen el spline, de forma que en cada subintervaloactúa un polinomio diferente, o sea:
s(x) = q k (x) , si x ∈ [ xk ,xk+1],

k=0,1,...,n−1

Cada qk (x) es un polinomio de grado 3 con la siguiente expresión:
qk (x) =

3
3
σk+1
yk
yk+1

 (xk+1−x)
 (x−xk )
−hk ( xk+1−x) +
−hk ( x−xk ) +
(xk+1−x) +
(x−xk ),



6
6
hk
hk
hk
hk

σk

k=0,1,...,n−1

donde los valores h k = xk+1−xk s on las diferenciasentre abscisas consecutivas y los σk s on los coeficientes a determinar, que se obtienen como
solución del sistema:
hk−1 σk−1 + 2(hk−1 + hk ) σk + hk σk+1 = 6 ( f[xk ,xk+1] − f[xk−1,xk ] )k=1,2,...,n−1

donde los f[xi ,xi+1] se corresponden con los valores de la primera columna de la tabla de diferencias divididas. Este sistema tiene n−1 ecuaciones
y n+1 incógnitas por lo que tieneinfinitas soluciones. Como vamos a calcular los splines cúbicos naturales, haremos σ0=0 en la primera ecuación
y σn=0 en la última, resultando el clásico sistema tridiagonal ya conocido (ver...