Splines
Una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido sobre un sub intervalo, que se unen entre sí obedeciendo a ciertas condiciones de continuidad.Supongamos que disponemos de n+1 puntos, a los que denominaremos nudos, tales que. Supongamos además que se ha fijado un entero. Decimos entonces que una función spline de grado k con nudos en es unafunción S que satisface las condiciones:
En cada intervalo, S es un polinomio de grado menor o igual a k.
S tiene una derivada de orden (k-1) continua en.
Los splines de grado 0 son funcionesconstantes por zonas. Una forma explícita de presentar un spline de grado 0 es la siguiente:
Los intervalos no se intersectan entre sí, por lo que no hay ambigüedad en la definición de la función en losnudos. Un spline de grado 1 se puede definir por:
Se muestran en las gráficas correspondientes a los splines de grado cero y de grado 1 respectivamente.
Spline de grado 0 con seispuntos.
Spline de grado 1 con seis puntos.
Splines cúbicos
El spline cúbico (k=3) es el spline más empleado, debido a que proporciona un excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo noes excesivamente complejo.
Sobre cada intervalo, S está definido por un polinomio cúbico diferente. Sea Si el polinomio cúbico que representa a S en el intervalo [ti,ti+1], por tanto:
Lospolinomios Si-1 y Si interpolan el mismo valor en el punto ti, es decir, se cumple:
Si-1(ti) = yi = Si(ti)
Por lo que se garantiza que S es continuo en todo el intervalo. Además, se supone que S'y S'' son continuas, condición que se emplea en la deducción de una expresión para la función del spline cúbico.
Aplicando las condiciones de continuidad del spline S y de las derivadas primera S' ysegunda S'', es posible encontrar la expresión analítica del spline. No vamos a obtener esta expresión, ya que su demostración queda fuera del ámbito de estos apuntes. Simplemente diremos que la...
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