Sr.te

Ejercicios Resueltos de Estadística:
Tema 4: Probabilidades y Variables Aleatorias

1. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de
ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de
ensayos independientes:
1. ¿cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas?
2. ¿y de que a lo sumo dos seencuentren defectuosas?
3. ¿cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?

SOLUCIÓN:
Sea δ i una variable aleatoria que representa el estado de una unidad terminada en la línea de
ensamblaje en el momento i, siendo δ i= 1 si la unidad es defectuosa y δ =0 en caso contrario.
La variable δ sigue una distribución Bernoulli con parámetro p=0’05, de acuerdo con el datoinicial del problema. Además, nótese que un conjunto de unidades terminadas constituye un
conjunto de ensayos independientes, por lo que el número de unidades defectuosas de un total
de n unidades terminadas ( δ 1………. δ n), esto es,η n , p =

n

∑δi ,

sigue una distribución

i =1

binomial de parámetros n y p=0,05. Hechas estas consideraciones iniciales, procedemos a
resolver elproblema:
1. Procedamos a calcular:
8
10 
2
P(η10, 0'05 = 2) =   * 0'05 * (1−0,05) = 0,0476
2 
 

2. Se tiene que:
10 −i
10 
i
P (η10,0 '05 ≤ 2) =   * 0'05 * (1−0,05) = 0,9984
i 
 

3. Por último:

10 − 0
0
10 
P(η10, 0 '005 ≥ 1) = 1 − P(η10, 0'05 = 0) = 1 −   * 0,05 * (1− 0,05) = 1 − 0,5987 = 0,4013
0 
 

2. El gerente de un restaurante que sólo daservicio mediante reservas sabe, por
experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el
restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de
que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?

SOLUCIÓN:
Representemos por la variable aleatoria δ la decisión de asistir ( δ = 0) o no ( δ = 1)finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una reserva. Esta variable sigue
una distribución de Bernoulli de parámetro p = 0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio.
Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre sí, se tiene que, de un total de n
reservas ( δ 1…. δ n), el número de ellas que acuden finalmente al restaurante es una variable
n

aleatoria Yn =∑ δ 1 , con distribución binomial de parámetros n y p=0,2. En el caso particular
i =1

del problema, n=25. Entonces, para aquellas personas que asistan al restaurante de las 25 que
han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. Así se
tiene que:

20 25
 
P (Y ≤ 20) = ∑   * 0,2 i * (1 − 0,2) 25−i = 0,5799
 
i =0  i 

3. Una empresaelectrónica observa que el número de componentes que fallan antes de
cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número
promedio de estos fallos es ocho,
1. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?
2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?
3. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?SOLUCIÓN:
Sea la variable aleatoria δ , con distribución de Poisson con parámetro λδ = E [δ ] = 8, que
determina el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento.

1. Considerando que se cumplen ciertas condiciones de regularidad, podemos asumir que una
variable η que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de
funcionamiento sigue unadistribución de Poisson con parámetro λη = E [η ] = 8=4 = 2.
Por lo tanto, la probabilidad deseada es la siguiente:

P = (η = 1) =

21 − 2
* e = 0,27067
1!

2. Análogamente, definimos una variable aleatoria U con distribución de Poisson de parámetro
λU = 8=2 = 4, que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir las 50 horas de
funcionamiento. Se tiene entonces que:

4i...