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´ ´ REPRESENTACION GRAFICA DE FRACTALES MEDIANTE ´ ´ UN PROGRAMA DE CALCULO SIMBOLICO
JUAN L. VARONA

´ Introduccion No es el prop´sito de este art´ o ıculo dar una visi´n general ni una teor´ sobre o ıa fractales, ni mostrar magn´ ıficos dibujos elaborados qui´n sabe c´mo. Hay muchos e o libros que se dedican a distintos aspectos del estudio de fractales. Por citar unos pocos, mencionemos [6,11], en los que podemos encontrar bastantes ideas intuitivas, as´ como gr´ficos y explicaciones detalladas de c´mo generarlos. M´s avanzado es ı a o a [7] (aunque tambi´n hace hincapi´ en los aspectos gr´ficos) y, a´n m´s, [8, 3]; en e e a u a particular, este ultimo analiza en profundidad la iteraci´n de funciones racionales, ´ o una de las mayores fuentes de fractales. En espa˜ol, un interesantelibro que muestra n multitud de algoritmos y gr´ficos es [2]; mucho m´s contenido matem´tico tiene [9]. a a a Queremos tambi´n citar [10], una traducci´n de un cl´sico de Mandelbrot, uno de e o a los padres de la geometr´ fractal (sobre todo en el aspecto divulgador), y que, ıa adem´s, fue quien invent´ el t´rmino fractal. a o e En este art´ ıculo, simplemente, nos dedicaremos a mostrar c´mo lograrrepreseno taciones gr´ficas de fractales mediante uno de los potentes programas de c´lculo a a simb´lico disponibles actualmente. Veremos que es una tarea que implica cierta o actividad matem´tica: no se podr´, en general, tratar de programar, directamente, a a alguno de los algoritmos que definen el fractal. En pocas palabras, y sin profundidad, demos algunas ideas intuitivas de lo que se entiendenormalmente por un fractal. T´cnicamente, los fractales son conjuntos cuya e dimensi´n de Hausdorff es fraccionaria. ¿Qu´ quiere esto decir? Centr´ndonos en o e a los que se pueden representar en el plano, y teniendo en cuenta que una recta (o una l´ ınea curva) tiene dimensi´n 1, y el plano dimensi´n 2, un fractal ser´ un intrincado o o ıa subconjunto del plano que no llega a tener superficie nonula, pero que tampoco la longitud es util para medirlo, pues la longitud de cualquier trozo no trivial del ´ fractal es infinita. As´ ni la longitud (medida 1-dimensional) ni la superficie (medida ı, 2-dimensional) sirven como m´todo util para efectuar mediciones en el fractal; para e ´ ello, puede ser necesario, por ejemplo, utilizar una medida (log 4/ log 3)-dimensional. (De todas formas, esbastante com´n que, aunque sepamos que alg´n objeto es un u u fractal, desconozcamos cu´l es su dimensi´n.) En la pr´ctica, los fractales suelen a o a tener estructuras que se repiten por doquier y a cualquier escala (autosimilitudes), ya sea de manera exacta o con un aspecto similar: si nos aproximamos al fractal y lo miramos de mucho m´s cerca (como con un potente zoom de una c´mara) a a volvemos aver trozos del fractal que nos recuerdan lo ya observado antes. Y esto, tanto como queramos.
Este art´ ıculo aparecer´ publicado en La Gaceta de la Real Sociedad Matem´tica Espa˜ola, a˜o a a n n 2003.
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J. L. VARONA

No me resisto a poner un ejemplo extra´ de la naturaleza. Quiz´s alguno se ıdo a haya preguntado por qu´ en los datos sobre pa´ e ıses no suele aparecer la longitud de sucosta. Simplemente, ¡porque no tiene sentido! Para medir la costa de un pa´ ıs tendr´ ıamos que establecer, en alg´n sentido, con qu´ detenimiento medimos. No es u e lo mismo medir s´lo aproximadamente en un mapa, dedicarse a medir con cuidado o la longitud de golfos y cabos, prestar atenci´n a los contornos rocosos, los granos o de arena, . . . ; dependiendo de nuestro af´n, ´ a ıbamos a obtenercantidades completamente diferentes. Tambi´n es un fractal la superficie de la tierra, con sus diferentes e elevaciones y depresiones (y, de hecho, se suelen utilizar estructuras fractales para lograr representaciones gr´ficas realistas de monta˜as). As´ tampoco tendr´ sena n ı, ıa tido decir cu´l es la superficie de un pa´ pero esto tiene remedio: podemos medir a ıs, la proyecci´n sobre la esfera...