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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

9 DIAGRAMAS DE FASE

Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias con dos variables de estado puede graficarse una contra la otra en undiagrama de fase. El tiempo no aparece en forma explícita. Sea por ejemplo el sistema

 x1   x1  x2  4x2

En este caso la solución es muy sencilla pues cada ecuación es independiente:

x1t   x1o e t

x2 t   x2o e  4t
En este caso para t tendiendo a infinito la solución (cualquiera) converge al punto (0,0). Si representamos una variable contra la otra obtenemos el siguientediagrama de fase:

4

3

2

1

x2

0

-1

-2

-3

-4 -4 -3 -2 -1 0 x1 1 2 3 4

Este es un ejemplo de un diagrama de fases tipo nodo estable. Véase ‘ejem9.1.sce’. Por elcontrario, el siguiente sistema es inestable:

 x1   x1  x2  4x2

La solución es

x1 t   x1o e t

x2 t   x2o e 4t
En particular la variable x2 diverge cuando t tiende a infinito y lasolución (0,0) es inestable. ILM 1

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

4

3

2

1

x2

0

-1

-2

-3

-4 -4 -3 -2 -1 0 x1 1 2 3 4

Véase ‘ejem9.2.sce’. Los valores propios (quecoinciden con los ejes en este caso) definen las separatrices del diagrama de modo que ninguna de las trayectorias las cruza.

Otro sistema inestable tipo silla de montar es el siguiente:

 x1  2 x1 x2  x2  2 x1  x2
Que es de la forma con

 x  Ax

2 1  A  2  1

ILM

2

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

8

6

4

2

x2

0

-2

-4

-6

-8 -8 -6 -4 -2 0 x1 24 6 8

Ver ‘ejem9.3.sce’. Los valores propios del sistema son

1  1.5616 2  2.5616

El hecho de que uno de ellos sea positivo implica que el sistema es inestable. Los vectores propiosdefinen las separatrices del sistema

1  

 0.2703    0.9628 0.8719  0.4896

2  

El segundo vector propio, asociado al valor propio positivo define el subespacio inestable....