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LA DERIVADA Parte 1

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La Derivada
El cálculo diferencial se centra en el concepto de derivada. La motivación original para la derivada fue el problema de definir las rectas tangentes a las gráficas de las funciones y el cálculo de las pendientes de dichas rectas. Sin embargo, la importancia de la derivada se basa en su aplicación a diversos problemas.

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Recta tangente
Si una curvaC tiene la ecuación y = f(x) y deseamos determinar la tangente a C en el punto P(a,f(a)) nos fijaremos en un punto cercano, Q(x, f(x)), con x ≠ a , para calcular la pendiente de la recta secante PQ.
P
m PQ = f ( x ) − f (a ) x −a

C t

A continuación, aproximamos Q a P a lo largo de la curva C haciendo que x tienda a a. Si la pendiente de la recta que contiene a PQ tiende a un número m,este número m corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P.

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La recta tangente a la curva y = f(x) en el punto P(a,f(a)) es la línea que pasa por P cuya pendiente es
m = lim f ( x ) − f (a ) x −a x→ a

siempre que este límite exista. En consecuencia, una ecuación de esta recta tangente es: Y - f(a) = m (x – a)
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A veces es más fácil usar otra expresión parala pendiente de una línea tangente.

Si hacemos h = x – a, entonces x = a + h y podemos observar que
Si x→a entonces h→0

Y la pendiente de la recta tangente se transforma en:
m = lim f (a + h ) − f ( a ) h h→0
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La derivada de una función en un punto
La derivada de la función f en un número a representada por f ’(a), se define como
f ' (a ) = lim f (a + h ) − f ( a ) h h→0 oequivalent e f ' (a ) = lim f ( x ) − f (a ) x−a x →a

en caso de existir ese límite.

Por lo tanto, podemos interpretar geométricamente la derivada de la función f en el número a, f ’(a), como la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a,f(a)).

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Interpretación de la derivada como pendiente de una tangente Podemos decir que la recta tangente a y = f(x) en el punto(a,f(a)) es la línea que pasa por (a,f(a)) cuya pendiente es igual a la derivada de f en a, es decir f’(a) . Una ecuación de esta recta es:

y - f(a) = f ’(a) (x – a)

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La derivada como una función
Hemos definido f ’(a), la derivada de la función f en el punto a. Si sustituimos en esta definición a por x, llegamos a f ( x + h) − f ( x ) f ' ( x ) = lim (∗) h h→o Estamos en condiciones dedefinir una nueva función, aquella que a cada x le asocia f ’(x). Esta función f ’ se llama derivada de f porque se ha “derivado” de f mediante el límite (∗) ; su dominio es el conjunto { x ∈ IR / f ’(x) existe}, que puede estar contenido en el dominio de f. La función derivada de y = f(x) se anota también:

f ' ( x) = y ' =

dy df d = = f ( x ) = Df ( x ) = D x f ( x ) dx dx dx

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2Ejemplo: Si f(x) = 3x +1 determinemos la función derivada de f.

f ' ( x ) = lim

f(x + h) − f(x ) h h→ 0

3( x + h )2 + 1 − 3 x 2 − 1 = lim h h→ 0 6 xh + 3 h 2 = lim h h→ 0 = lim ( 6 x + 3 h )
h→ 0

= 6x

La función derivada de f es f ’ : IR IR definida por f’(x) = 6x
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Ejercicio:

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = 3x2 +1 en el punto P(1, 4)?Ejercicio: Demuestre que las derivadas de las siguientes
funciones son las que se indican:
f ( x) = k, k constante f(x) = x f(x) = x2 f(x) = 3x2 + 2 f ( x ) = x3 - x f' (x) = 0 f' (x) = 1 f' (x) = 2x f' (x) = 6x f' (x) = 3x2 − 1

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Ecuación de la recta tangente Si existe f’(a) entonces una ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a,f(a)) es la siguiente:

y − f( a ) = f ´(a )( x − a )

Ejercicio: Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y =x3 en el punto (-1,-1).

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Ejercicio: Determine la ecuación de la recta tangente a las curva f(x)=senx en x =π/2 Ejercicio: Determine la ecuación de la recta tangente a las curva f(x)=cosx en x =π/4 Ejercicio: Determine las ecuaciónes de la recta normal a la curva h(x) = x-2 en x = 1 y en x =-1...