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La ecuación general de una recta en elplano (identificado con IR²) es
ax + by + c = 0, en donde a, b y c son números reales y a y b no son ambos nulos.
La que determinas es la ecuación de una rectaen particular, la que pasa por los puntos
P1 y P2.
Para saber si un Punto P(q, r) pertenece a la recta de ecuación
ax + by + c = 0,
basta verificar que lascoordenadas del punto satisfacen la ecuación, es decir, que vale la igualdad:
aq + br + c = 0.
Luego para verificar qque una ecuación corresponde a la de una rectaque pasa por dos puntos, hay que ver si las coordenadas de cada uno satisfacen la ecuación.
La ecuación: 5x - 7y + 1 = 0, sí es la de la recta que pasa por los dospuntos dados, porque
P1(4, 3) sí pertenece a la recta, ya que sus coordenadas satisfacen la ecuación:
5 . 4 - 7 . 3 + 1 = 0,
El otro punto: P2(-3, -2) tambiénpertenece a la recta, pues sus coordenadas satisfacen la ecuación:
5(-3) - 7(-2) + 1 = 0.
ero la ecuación que propones: 7y - 5x + 1 = 0, no es la de la recta quepasa por P1 y P2.
P1 no satisface tu ecuación:
7 . 4 - 5 . 3 + 1 = 13 ≠ 0.

El error que cometiste es trivial y muy frecuente.
Una vez q
ue llegaste a
7y -5x = 1, que sí es la ecuación de la recta que buscas, pasaste a
7y - 5x + 1 = 0, pero fíjate que al pasar el uno de la derecha del signo de igualdad a laizquierda, debes cambiar el signo, con lo que habrías obtenido:
7y - 5x - 1 = 0, que es la respuesta correcta
(se trata ded la ecuación 5x - 7y + 1 = 0 multiplicada por -1)