Stewart Funciones Y Modelos

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Funciones y modelos

A menudo una gráfica es la mejor manera
de representar una función porque
transmite mucha información en un
vistazo. En la fotografía se muestra la
gráfica de la aceleración del suelo,
creada por el terremoto de 2008 en la
provincia de Sichuan, en China. La ciudad
más golpeada fue Beichuan, como
muestra la imagen.

Cortesía de the IRIS Consortium. www.iris.edu

© MarkRalston / AFP / Getty Images

Los objetos fundamentales con los que trata el Cálculo son las funciones. Este capítulo prepara el camino
para el Cálculo discutiendo las ideas básicas sobre las gráficas de funciones y la manera de transformarlas
y combinarlas. Destacamos que una función puede representarse de diferentes maneras: mediante una
ecuación, una tabla, una gráfica o en palabras. Veremos losprincipales tipos de funciones que aparecen en
el Cálculo y describiremos cómo se utilizan estas funciones para modelar matemáticamente fenómenos
del mundo real. También analizaremos el uso de calculadoras graficadoras y programas de graficación por
computadora.

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CAPÍTULO 1

1.1

FUNCIONES Y MODELOS

Cuatro maneras de representar una función
Las funciones surgen siempre que una cantidaddepende de otra. Considere las cuatro
situaciones siguientes:
A. El área A de un círculo depende de su radio r. La regla que relaciona A con r está

Año

Población
(millones)

1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010

1 650
1 750
1 860
2 070
2 300
2 560
3 040
3 710
4 450
5 280
6 080
6 870

dada por la ecuación A m )r2. Con cada número positivo r hay asociado un valor de
A, por loque decimos que A es una función de r.
B. La población humana del mundo P depende del tiempo t. La tabla muestra las estimaciones de la población mundial P(t) en el tiempo t, para algunos años. Por ejemplo,
P(1950)2 560 000 000
Pero para cada valor del tiempo t hay un valor correspondiente de P, por lo que
decimos que P es una función de t.
C. El costo C de envío de un paquete por correo dependede su peso w. Aunque no hay
alguna fórmula simple que relacione a w con C, la oficina de correos tiene una regla
para determinar C cuando se conoce w.
D. La aceleración vertical a de suelo, medida por un sismógrafo durante un terremoto,
es una función del tiempo transcurrido t. La figura 1 muestra una gráfica generada
por la actividad sísmica durante el terremoto de Northridge que sacudió LosÁngeles
en 1994. Para un determinado valor de t, la gráfica proporciona un valor correspondiente de a.

a
{cm/s@}
100

50

5
FIGURA 1

Aceleración vertical de suelo durante
el terremoto de Northridge

10

15

20

25

30

t (segundos)

_50
Departamento de Minas y Geología de California

Cada uno de estos ejemplos describe una regla según la cual, a un número dado (r, t, w
o t), se le asigna otro número(A, P, C, o a). En cada caso decimos que el segundo número es una función del primero.
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado f (x), de un conjunto E.
Usualmente consideramos funciones para los cuales los conjuntos D y E son conjuntos
de números reales. Al conjunto D se le denomina dominio de la función. El número f (x)
es el valorde f en x y se lee “f de x”. El rango de f es el conjunto de todos los valores
posibles de f (x) conforme x varía a través de todo el dominio. Un símbolo que representa
un número arbitrario en el dominio de una función f se llama variable independiente.
Un símbolo que representa un número en el rango de f se conoce como variable
dependiente. En el ejemplo A, r es la variable independiente, y A esla variable dependiente.

SECCIÓN 1.1

x
(entrada)

f

ƒ
(salida)

FIGURA 2

Diagrama de una función ƒ como una
máquina

x

ƒ
a

f(a)

f

D

CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN

Es útil pensar en una función como una máquina (véase la figura 2). Si x está en el
dominio de la función f, cuando x entra en la máquina, que se acepta como una entrada, la
máquina produce una salida f (x) de...