student
Páginas: 142 (35432 palabras)
Publicado: 10 de abril de 2013
APROXIMACIÓN
AL
ÁLGEBRA LINEAL:
un enfoque geométrico
Rafael ISAACS, Sonia SABOGAL
APROXIMACIÓN
AL
ÁLGEBRA LINEAL:
un enfoque geométrico
Bucaramanga, 2009
A nuestros hijos,
el mio, el tuyo
y la nuestra.
Contenido
Presentación
iii
1. Algo sobre inducción matemática y números complejos
1
1.1. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Demostraciones por inducción matemática . . . . . . . .
4
1.3. Definiciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4. Sumatoria y productoria . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5. Combinatoria y teorema del binomio . . . . . . . . . . .
19
1.6. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.6.1. Forma polar . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
26
1.7. Algo sobre dinámicas complejas . . . . . . . . . . . . . .
32
2. Rn como espacio vectorial
37
2.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2. Rn : el espacio donde viven las soluciones a sistemas de
ecuaciones con n variables . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.3. Combinaciones lineales eindependencia lineal . . . . . .
55
2.4. Planos y rectas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.4.1. Ecuaciones paramétricas y cartesianas . . . . . .
63
2.4.2. Rectas que contienen el origen . . . . . . . . . . .
63
2.4.3. Rectas trasladadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.4.4. Planos que contienen el origen . . . . . . . . . . .
66
2.4.5. Planostrasladados . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.5. Subespacios vectoriales y subespacios afines de Rn . . . .
70
Contenido
ii
3. Transformaciones lineales y matrices
75
3.1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.2. Representación de transformaciones lineales por medio de
matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
803.3. El núcleo y la imagen de una transformación lineal . . .
88
3.4. Álgebra de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.4.1. Suma y producto por escalar . . . . . . . . . . . .
94
3.4.2. Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.4.3. Inversa de una matriz
...............
99
..................
107
3.5. Transformacionesafines
4. Rn como espacio vectorial euclídeo
111
4.1. Producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
4.2. Longitudes, ángulos, distancias y proyecciones . . . . . .
114
4.3. Producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
4.4. Similitudes e isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
5. La función determinante
129
5.1.Áreas y volúmenes orientados . . . . . . . . . . . . . . .
129
5.2. Axiomas del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
5.3. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
5.4. Inversa por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
Respuestas a los ejercicios
151
Lecturas recomendadas
163
Presentación
Por sus múltiplesaplicaciones, el estudio del álgebra lineal en los programas universitarios cobra cada día más importancia. Esta rama de las
matemáticas se ocupa de ciertas estructuras llamadas espacios lineales o
vectoriales, e investiga de qué manera ellos se interrelacionan mediante las
llamadas transformaciones lineales; comprende además el estudio de los
sistemas de ecuaciones lineales y de las matrices.Los espacios vectoriales
y las transformaciones lineales se pueden ubicar como temas capitales
del álgebra moderna, y su teoría es extensamente usada en el análisis
funcional, en el análisis vectorial y en las ecuaciones diferenciales, entre
otros; por ejemplo, en el cálculo es importante para las derivadas de orden superior. Sus numerosas aplicaciones no se restringen al campo de las...
AL
ÁLGEBRA LINEAL:
un enfoque geométrico
Rafael ISAACS, Sonia SABOGAL
APROXIMACIÓN
AL
ÁLGEBRA LINEAL:
un enfoque geométrico
Bucaramanga, 2009
A nuestros hijos,
el mio, el tuyo
y la nuestra.
Contenido
Presentación
iii
1. Algo sobre inducción matemática y números complejos
1
1.1. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Demostraciones por inducción matemática . . . . . . . .
4
1.3. Definiciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4. Sumatoria y productoria . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5. Combinatoria y teorema del binomio . . . . . . . . . . .
19
1.6. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.6.1. Forma polar . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
26
1.7. Algo sobre dinámicas complejas . . . . . . . . . . . . . .
32
2. Rn como espacio vectorial
37
2.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2. Rn : el espacio donde viven las soluciones a sistemas de
ecuaciones con n variables . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.3. Combinaciones lineales eindependencia lineal . . . . . .
55
2.4. Planos y rectas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.4.1. Ecuaciones paramétricas y cartesianas . . . . . .
63
2.4.2. Rectas que contienen el origen . . . . . . . . . . .
63
2.4.3. Rectas trasladadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.4.4. Planos que contienen el origen . . . . . . . . . . .
66
2.4.5. Planostrasladados . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.5. Subespacios vectoriales y subespacios afines de Rn . . . .
70
Contenido
ii
3. Transformaciones lineales y matrices
75
3.1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.2. Representación de transformaciones lineales por medio de
matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
803.3. El núcleo y la imagen de una transformación lineal . . .
88
3.4. Álgebra de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.4.1. Suma y producto por escalar . . . . . . . . . . . .
94
3.4.2. Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.4.3. Inversa de una matriz
...............
99
..................
107
3.5. Transformacionesafines
4. Rn como espacio vectorial euclídeo
111
4.1. Producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
4.2. Longitudes, ángulos, distancias y proyecciones . . . . . .
114
4.3. Producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
4.4. Similitudes e isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
5. La función determinante
129
5.1.Áreas y volúmenes orientados . . . . . . . . . . . . . . .
129
5.2. Axiomas del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
5.3. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
5.4. Inversa por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
Respuestas a los ejercicios
151
Lecturas recomendadas
163
Presentación
Por sus múltiplesaplicaciones, el estudio del álgebra lineal en los programas universitarios cobra cada día más importancia. Esta rama de las
matemáticas se ocupa de ciertas estructuras llamadas espacios lineales o
vectoriales, e investiga de qué manera ellos se interrelacionan mediante las
llamadas transformaciones lineales; comprende además el estudio de los
sistemas de ecuaciones lineales y de las matrices.Los espacios vectoriales
y las transformaciones lineales se pueden ubicar como temas capitales
del álgebra moderna, y su teoría es extensamente usada en el análisis
funcional, en el análisis vectorial y en las ecuaciones diferenciales, entre
otros; por ejemplo, en el cálculo es importante para las derivadas de orden superior. Sus numerosas aplicaciones no se restringen al campo de las...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.