Subconjuntos de un conjunto

Subconjuntos de un Conjunto

Sabemos que el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto finito A, es el conjunto potencia, y que este tiene 2n elementos, donde “n” es el número de elementosque conforman al conjunto A.

Pero surge la pregunta, ¿Cómo se forma el conjunto potencia del conjunto A, el cual tiene “n” elementos?

Supongamos que el conjunto A = {a1, a2,…,an} tiene “n”elementos, para formar el conjunto potencia 2A, asignaremos a cada subconjunto de A una cadena ordenada de “n” números binarios (0 y 1), indicando con “1” si esta el elemento del conjunto potencia y si noesta con el “0”.

Por ejemplo la n-cadena ordenada de todos los ceros significa que el subconjunto es el conjunto vacío (es el conjunto que no tiene elementos), y la n-cadena ordenada de todos losunos es el mismo conjunto A (recordemos que [pic] y A[pic]).

Es importante destacar que para toda n-cadena ordenada de números binarios, existe un único subconjunto del conjunto A, y viceversa. Porende el conjunto potencia del conjunto A, tiene tanto elementos como n-cadena ordenada de números binarios.

Luego surge una segunda pregunta, ¿Cuántas n-cadenas ordenadas de números binarios sepueden asignar a los subconjuntos que conforman el conjunto potencia del conjunto A?

Para construir las n-cadena de números binarios que asignaremos a cada subconjunto que esta en el conjuntopotencia de A, se sigue el siguiente procedimiento:

Para el primer elemento del conjunto A tenemos dos posibilidades (0 y 1), para el segundo elemento otras dos posibilidades, y así sucesivamente, hastallegar al n-ésimo elemento de A, el cual tiene 2n posibilidades.

Dicho de otra manera, para el primer elemento de A los números binarios 0 y 1 se alternan de mitad en mitad del total de subconjuntosque es 2n.

Para el segundo elemento, los números binarios se alternan en la mitad de lo que se alterno en el primer elemento, y así sucesivamente hasta llegar al n-ésimo elemento en donde los...