subespacio vectorial

Definición de Espacio Vectorial

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacio, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos de conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático).
En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica auna amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección, ya sea un fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones.
Supongamos que tenemos un conjunto  donde para  y  escalares cumplen con las siguientes propiedades:
Propiedad de cerradura
.
.
Propiedad de adición.
.
 contiene al elemento 0 con .
Propiedad de multiplicación por un escalar
.
.
.
Entonces  se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa, conmutativa,existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un campo con la inclusión del 0 y del .
Dicho de manera informal, en un espacio vectorial tenemos elementos los cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir es encontrar todas las características estructurales de estos espacios. Para esto recurriremos a ideas provenientes del Álgebra Universal, talescomo relaciones de orden, relaciones de equivalencia, mapeos de un conjunto a otro y la generación de espacios más complejos por medio de productos cartesianos
SUBESPACIO VECTORIAL
Un conjunto no vacío W de un espacio vectorial V es un SUBESPACIO de V si W con las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V es en si mismo un espacio vectorial.

Antes de dar las condicionesque ha de cumplir un subconjunto para tener estructura de subespacio vectorial, vamos a intentar observar cuales pueden ser estas condiciones. 


Consideremos el espacio vectorial (R2,+,.R), y tomemos un suconjunto de vectores del plano, por ejemplo los vectores que están contenidos en la recta x=0. Todos estos vectores son verticales, por ejemplo
(0,1), (0,3), (0,4),....
Es claro que sitomamos este subconjunto del plano que en notación analítica sería

todos los vectores contenidos en W cumplen las 8 propiedades de los espacios vectoriales. Pero para analizar si este subconjunto es un subespacio vectorial de R2 bastaría comprobar dos propiedades:
1. que sumando dos vectores del W se obtiene otro vector de W. Esta propiedad la cumple puesto que si sumamos dos vectores cuyacomponente primera es cero, vuelve a resultar un vector con la componente primera nula.
2. que al multiplicar un vector de W por un escalar real cualquiera, vuelva a resultar un vector de W. Esta situación nuevamente es clara, puesto que al multiplicar cualquier escalar por la primera componente nula nos da como resultado un vector con la primera componente nula.
El resto de propiedades no es necesariocomprobarlas puesto que todos los vectores del plano las cumplen y en consecuencia las cumplirán los vectores de W.
Si ahora tomamos un subconjunto formado por los vectores del plano cuya primera componente es 1, es decir 
 
y tomamos dos vectores de este subconjunto, por ejemplo (1,2) y (1,5), obsérvese que su suma es (2,7) que no pertenece a M. Por tanto la suma no es operación interna eneste subconjunto, y en consecuencia no puede ser un subespacio vectorial. 

CARACTERIZACIÓN DE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES.
1.- Sea (V,+,.R) un subespacio vectorial , y sea W un subconjunto de V. Diremos que W dotado con las mismas operaciones definidas en V, es un subespacio vectorial del mismo si se verifican las dos siguiente propiedades: 
                                a) 
b)  
una...