subespacio vectorial

Ejercicio 3.1.

En el R -espacio vectorial R4 se considera el siguiente subconjunto vectorial:
S   a, b, c, d  R4 / b  0  a  c  0

(A) Comprobar que S es subespacio vectorial,indicando claramente el sistema
generador y la estructura de la clausura lineal obtenida.
Podemos comprobar que S es un subespacio vectorial de dos formas, la primera es
que el espacio vectorial S cumplaunas leyes y la segunda es hallando la clausura lineal.
Lo demostraremos de las dos formas.
1 Forma:
⃗
Condiciones {

̅ ̅

̅

1. (0, 0, 0, 0). Sustituimos
2.
̅ ̅

y si pertenece.
̅

̅̅ =(
̅=(
(

)

(

)

̅
̅

)
)

(

)

̅
(

)

(
(

)
)

Como se verifican las dos condiciones, puede concluirse que S es un
subespacio vectorial de .
2 Forma:
Ahorahallaremos el sistema generador perteneciente a S
De las condiciones obtenemos que

por lo que:

(

)
(

)

(

)
(

)

(

), por lo tanto:

{(
)(
)} Es el sistema generador( ) Es la clausura lineal
B= {(1, 0, -1, 0), (0, 0, 0, 1)}  Sistema generador
( )  Clausura lineal, Por lo que S es un subespacio vectorial de

.

(B) Hallar una base B de S y la dimensión.Se dice que el sistema B es una base de V si es Libre y B es un sistema de generadores
de V, por lo que cogemos el sistema generador y comprobamos si es libre o no.
B=(

–

)

r(B)=2Comprobamos con Mathematica:
In[21]:= B={{1,0,-1,0},{0,0,0,1}};
In[22]:= MatrixRank[B]
Out[22]= 2

Vemos que, como el rango de la matriz es 2 los vectores son independientes, eso
quiere decir que es unsistema libre, por lo tanto
{(

)(

)}

La dimensión del espacio seria 2 porque tiene 2 vectores.

(C) Prolongar la base de B de S hasta encontrar una base B* del espacion
vectorial quecontiene a S.
Base canónica= (1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0), (0,0,0,1)
Como hay que ampliar la base hasta encontrar la B* y estamos en R4 se le añadirá 2
vectores más, teniendo en cuenta la base...