Subespacios afines

SUBESPACIOS AFINES

SUBESPACIOS AFINES

Un subespacio afín de un espacio vectorial es un subconjunto no vacío del
espacio que puede escribirse como suma de un vector y un subespacio.

Ejemplo:A = {(2,1)} + {(x,y) de R2 tales que x + y = 0} es un espacio afín, ya que es suma del
vector (2,1) de R2 y del subespacio F = {(x,y) de R2 tales que x + y = 0} de R2.
Vectores de A serían, entreotros: (3,0) = (2,1) + (1,-1); (4,-1) = (2,1) + (2,-2); (2,1) =
(2,1) + (0,0), etc.

El conjunto formado por un solo vector del espacio siempre es un
subespacio afín, ya que es la suma de dichovector y del subespacio
vectorial formado sólo por el vector nulo.

Ejemplo:
A = {(2,1,3)} es un espacio afín, ya que: A = {(2,1,3)} + {(0,0,0)}.

Cualquier subespacio vectorial de un espacio estambién un subespacio
afín, ya que es la suma del vector nulo y del propio subespacio vectorial.

Ejemplo:
A = R(2,3) es un subespacio vectorial de R2. Además, es un subespacio afín de R2, ya
queA = {(0,0)} + R(2,3).

Ejemplo:
Averiguar si A = {(x,y) de R2 tales que x + y = 2} es un subespacio afín de R2.
Como x + y = 2, entonces y = 2 – x. Podemos escribir un vector de A como:
1SUBESPACIOS AFINES

(x,y) = (x,2-x) = (0,2) + (x,-x) = (0,2) + x(1,-1) = (0,2) + R(1,-1).
Por lo tanto A = {(0,2)} + R(1,-1), es la suma de un vector y un espacio vectorial, luego
A es un subespacioafín.

Un subespacio afín A es también un subespacio vectorial si el vector nulo
pertenece a A.

Ejemplo:
Veamos si A = {(x,y) de R2 tales que x + y = 2} es un subespacio vectorial de R2.
En unejemplo anterior vimos que era un subespacio afín.
El vector nulo no pertenece a A, ya que 0 + 0 no es 2, y no se cumple la condición de A.
Por lo tanto A no es un subespacio vectorial.

Laintersección de subespacios afines, si no es vacía, siempre es otro
subespacio afín.

Ejemplo:
Los subespacios afines A = (2,6) + R(1,0) y B = (1,1) + R(0,1) tienen como intersección
al vector...