subespacios vectoriales

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ALGEBRA
HOJA 2 DE EJERCICIOS

Subespacios Vectoriales
1. ¿Cu´les de los siguientes subconjuntos de R3 son subespacios vectoriales?
a
(i) S = {(a, b, c) donde a = c = 0},
(ii) T = {(a, b,c) donde a = −c},
(iii) U = {(a, b, c) donde b = 2a + 1},
(iv) W = {(a, b, c) donde a2 + b = 0}.
2. ¿Cu´les de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial R2 [x] formado
a
todos lospolinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 2
son subespacios vectoriales?
(i) S = {p(x) ∈ R2 [x] donde p(1) = 0},
(ii) T = {p(x) ∈ R2 [x] donde p(2) = 1},
(iii) U = {p(x) ∈ R2 [x]donde p (0) = 0},
(iv) W = {p(x) ∈ R2 [x] donde p(0) = p (0)}.
3. ¿Cu´les de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial Mat2×3 (R)
a
son subespacios vectoriales?
(i) S = {

a b
d 0

c
0donde b = a + c},

(ii) T = {

a b
d 0

c
0

donde c > 0},

(iii) U = {

a b
d e

c
f

donde a = −2c, f = 2e + d}.

4. Sea S el conjunto de todas las funciones reales devariable real de la forma
f (x) = Ae2x + B cos(5x) + Cx2 , donde A, B y C son n´meros reales.
u
Probar que S es un subespacio vectorial del espacio vectorial de todas las
funciones reales devariable real.
Dependencia e independencia lineal
5. Estudia si los siguientes vectores de R[x] son linealmente independientes:
x3 , x2 + x3 , 2 + x + x3 , 6 + 3x + x2 + 6x3 .
6. Determina en cadaapartado si el polinomio p(x) pertenece al subespacio
generado por {x2 − x, x2 − 2x + 1, −x2 + 1), donde
1

a) p(x) = 3x2 − 3x + 1.
b) p(x) = x2 − x + 1.
c) p(x) = x + 1.
d) p(x) = 2x2 − x − 1.7. Dados los vectores v = (1, −3, 2), w = (2, −1, 1) de R3 , ¿para qu´ valores
e
de a es (1, a, 5) combinaci´n lineal de v y w?
o
8. Determina en cada apartado para qu´ valores de h es {v1 , v2 ,v3 } lineale
mente independiente
(i) v1 = (1, −3, 2), v2 = (−3, 9, −6), v3 = (5, −7, h)
(ii) v1 = (1, −5, −3), v2 = (−2, 10, 6), v3 = (2, −9, h)
9. Sean v1 , v2 y v3 tres vectores linealmente...