subir

TAREA 4
Elisa García Horna
Ana Fdez Navamuel del Olmo

Sea el siguiente sistema:

Siendo,

Se pide:
1. Dibujar el Lugar Directo de las Raíces a MANO.
a. Verificar Factor Multiplicador enla Ecuación Característica.

Ecuación característica: 1+K*GH=0

1+K

s+3
=0
s ( s+ 5 )( s+ 6 ) ( s 2 +2s+2 )

s(s+5)(s+6)( s 2 +2s+2)+K(s+3)=0
K aparece como factor multiplicador en laecuación característica
b. Número de Ramas=grado de la ecuación característica=polos de G*H=5
c. Puntos de inicio y término. Puntos del infinito.
• Puntos de inicio: 0 -5 -6 -1+j -1-j (polos)
• Puntosfinales: -3 y cuatro en infinito (ceros)
d. Lugar en el Eje Real= (-6,5)U(-3,0)
e. Asíntotas: número y ángulos. Centroide.

∑ polos−∑ zeros = (−6−50−1 +j−1− j ) +3

•

Centroide=

•

Nº deasíntotas=polos-zeros=4

•

Ángulos
qϵ

Ө0 =

p− z

Өq =

ϵ [0,3]

ᴨ
4

Ө1 =

3ᴨ
4

5−1

ᴨ ( 2q+1 )
p−z
5ᴨ
Ө2 =
4

Ө3 =

7ᴨ
4

=-2,5

f. Ángulos de salida delos polos complejos conjugados.

∑zeros-∑polos=-180º

Ө p1 =180-arctg(1)=135
1
Ө p2 = arctg =14.03
4
1
Ө p3 = arctg =11.31
5
Ө p4 =90
1
Ө z1 = arctg =26,56
2
Ө z1−( Ө p1 +Ө p2 +Ө p3 +Ө p4+Ө p5 )=180

Ө p5=−43,7

g. Corte con el Eje Imaginario y valores de K en dichos puntos.
2

Ecuación característica: s(s+5)(s+6)( s +2s+2)+K(s+3)=0
5

4

3

2

s + 13s +54 s + 82 s +( 60 +K ) s+ 3K=0
A=47,7
B=60+0,77K
C=65,64-0,21K
D=3K

APLICAMOS ROUTH
s5 1 54 60+k

s
2
C D
s
1
E
s
0
3k
s
Valor de k a partir del cual los términos C, E, y “3k “ son positivosK=0  s=0
65,64
C=0  k=
= 312
0,21
( 60+77k )( 65,64−0,21 k )−47,7∗3k
E=0=
= 35,5  Es más restrictivo que k=312, luego nos
( 65,64−0,21 k )
quedamos con este  58,185 s 2 +106,5=0  Cortescon el eje imaginario s= ±1,35j
DIBUJO

3. Rango de valores de K para los que el sistema es estable.
K ϵ [0, 35.5]
35.5=k límite estabilidad

4.Representar cómo podrían ser las diferentes...