subtemas 3.5 - 3.8

Instituto Tecnológico De Lázaro Cárdenas Michoacán


INGENIERÍAINDUSTRIAL

Alumno:
Jesús Ríos CervantesCALCULO VECTORIAL

Subtemas:

3.5.- LONGITUD DE ARCO
3.6.- VECTOR TANGENTE NORMAL Y BINOMIAL
3.7.- CURVATURA
3.8.- APLICACIONES







CÁLCULO VECTORIAL

3.5 Longitud de arcoEsta esuna estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva esdescrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente.






Vamos a calcular la longitud de una curva en un intervalocuya derivada seacontinuaen; a esta porción de gráfica se le llama arco.
Para aproximar la longitud del arco s se va a usar ahora segmentos de recta que aproxime la longitud en cada intervalo.
Se hace una partición(puede ser regular) del intervalo; para P y para Pde manera que el segmento PP tiene longitud calculada por el teorema de Pitágoras:

Si se suma la longitud de cada segmento, PPPP,..., PP, seobtiene una aproximación a la longitud total
.

Para poder ahora tomar el límite de la suma cuando la norma de la partición , utilizaremos que la función es derivable y continua en (condición que sepuso para que fuera un arco) y por lo tanto lo es en cada subintervalo por lo que satisface el teorema del valor medio.
Luego existe tal que remplazando
. Si

Ejemplo: Encontrar la longitud delsegmento de parábola en el intervalo
. Resolviendo ahora con



(Unidades lineales)
Ejemplo continuación: Encontrar la longitud de la curva
Como y no es continua en el intervalo propuesto,podemos utilizar el hecho de que la longitud de la curva será la misma para ( es prácticamente utilizar la inversa) y ahora con lo cual sque es la calculada en el ejemplo anterior.



3.6...