Successions

Ins de Puig-reig

La Successió de Fibonacci
Pròleg
La successió de Fibonacci serveix per ampliar la visió de les matemàtiques i que es pugui tenir una idea d'aquesta bella ciència. Una visió un xic més objectiva, sobre com les matemàtiques no són una sèrie de conceptes teòrics i abstractes sinó una representació i, per què no?, interpretació del món de forma acurada, rigorosa i totalmentobjectiva.
Leonardo de Pisa, Fibonacci
Leonardo Pisano (1175, Pisa - 1250, Pisa) és més conegut pel nom de Fibonacci, que significa fill de Bonaccio. Fibonacci va néixer a Itàlia però es va educar a Nord Àfrica on el seu pare exercia de diplomàtic.(*Bejaia) La feina del seu pare era representar els mercaders de la República de Pisa que hi comerciaven. Va aprendre matemàtiques a (*Bejaia) iviatjava extensament amb el seu pare, coneixent els enormes avantatges dels sistemes matemàtics usats als països que visitava. Era natural, doncs, que Fibonacci aprengués els mètodes algebraics àrabs, inclòs, afortunadament, l' ús dels numerals hindú-aràbigs. Al seu llibre Liber abbaci ja descriu «les nou formes hindús» junt amb el signe 0, «zephirum» (d' on deriven precisament els mots «xifra» i«zero»). L'exposició del sistema de numeració hindú-aràbig (sistema decimal) que presenta fou molt important per al procés de transmissió, tot i que no fou l'únic. Així també, Fibonacci ja utilitzava la barra horitzontal en les fraccions, que ja s'usava anteriorment a Aràbia, però que només s'arribà a utilitzar d'un mode generalitzat al segle XVI. Fibonacci era afeccionat a tractar amb fraccionsunitàries; per exemple, la fracció 98/100 es descompon en 1/100 1/50 1/5 ¼ ½ , així com també era usual que utilitzés el sistema sexagesimal; curiós fet tenint en compte que, al mateix temps, “promocionava” el sistema numèric decimal!
Fibonacci va acabar els seus viatges al voltant de l'any 1200 i tornà a Pisa. Allà va escriure un important nombre de textos que han tingut una rellevant importància pelrescat d' antics mètodes matemàtics i les seves pròpies aportacions. Sense la impremta era difícil d' obtenir còpies dels llibres. Avui encara es conserven còpies de: Liber abbaci (llibre de l' àbac) (1202), Practica geometriae (Geometria pràctica) (1220), Flos (1225), i Liber quadratum. Donades les relativament poques còpies que es van fer podem sentir-nos afortunats per tenir accés a la seva obra.No obstant això, sabem que va escriure altres textos que, per desgràcia, no s'han trobat. Com, per exemple, el seu llibre sobre l' aritmètica comercial Di minor guisa o el comentari al seu llibre sobre Euclides Elements, que contenia un tractament numèric dels nombres irracionals que Euclides va abordar amb un punt de vista geomètric.
Hom podria pensar que, en una Europa poc interessada en l'erudició, Fibonacci passés desapercebut. Tanmateix, no fou així i un difós interès en la seva obra va contribuir sens dubte, en potència, a la seva importància i difusió.
Els seus llibres contenen gran varietat de problemes, alguns dels quals provenen dels concursos matemàtics que se celebraven a la cort de l'emperador Frederic II, als que assistí com a convidat. I és precisament aquí, en un delsconcursos a la cort, on sorgí el problema que donà lloc a la famosa successió que duu el seu nom.
La successió de Fibonacci
A l'època de Fibonacci eren comuns els concursos i els reptes matemàtics. Al 1225, Fibonacci va prendre part en un torneig a Pisa promogut per l'emperador Frederic II. En aquest torneig sorgí un problema que va resoldre Fibonacci, donant lloc a la famosa successió.
Elproblema deia així:
Certa persona posà una parella de conills en un corral rodejat completament per un mur. Quants parells de conills poden produir-se, a partir d'aquest primer parell, en un any, si se suposa que cada mes cada parella engendra un nou parell, el qual, a partir del segon mes, esdevé “productiu”?
La successió resultant és 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ..., ( Fibonacci va ometre...